1.1. Парная линейная регрессия. Расчет параметров уравнения регрессии по индивидуальным данным

Линейная зависимость – наиболее часто используемая форма связи между коррелируемыми признаками, и выражается она, как указывалось ранее, при парной корреляции уравнением прямой:

. (22)

Гипотезу о линейной зависимости между х и у выдвигается в том случае, если значения результативного и факторного признаков возрастаю (или убывают) примерно в арифметической прогрессии.

Параметры иотыскиваются по МНК следующим образом:

Согласно требованию МНК при линейной зависимости в (21) вместо записываем его конкретное выражение, т.е.:

= . (23)

Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум , т.е. к определению того, при каких значения ифункция двух переменныхU может достигнуть минимума. Для этого надо найти частные производные U по и, приравнять их нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с изложенным найдем частные производные

(24)

Сократив каждое уравнение на –2, раскрыв скобки и перенося члены с х в одну сторону, а с у – в другую, получим (так как пределы суммирования везде одинаковы, в дальнейшем их не указываем)

(25)

Система (25) называется системой нормальных уравнений МНК для линейного уравнения регрессии.

Рассмотренный способ расчета параметров уравнения регрессии называется расчетом по индивидуальным данным, поскольку участвуют данные о значениях х и у каждой единицы совокупности (по списку).

Формулы для расчета параметров ина основе определителя 2-го порядка следующие:

(26, а)

или (если в (2.25) все уравнения разделить на n)

= , (26, б)

, (27)

где ,.

Коэффициент регрессии () показывает, на сколько единиц (вабсолютном выражении) изменяется значение результативного признака относительного факторного.

Коэффициент эластичности (Э – часто используется в экономическом анализе) показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Обычно рассчитывается как отношение прироста (в %) результативного признака к приросту (в %) факторного признака.

= . (28)

Пример. Уравнение регрессии выражает зависимость объема валового выпуска от стоимости основных фондов, тогда коэффициент эластичности выразится так:

Э = .

Подставляя в данное выражение разные значения х, получаем и разные значения Э. Так, например, при х = 50 коэффициент эластичности Э = 1,11, а при х = 80 соответственно Э = 1.09 и т.д. Это значит, что при увеличении основных фондов х с 50 до 50,5 млн. руб., т.е. на 1%, валовой выпуск у возрастает в среднем на 1,11% прежнего уровня; при увеличении х с 80 до 80,8 млн. руб., т.е. на 1%, у возрастает на 1,09%.

1.2. Парная линейная регрессия. Расчет параметров уравнения регрессии по сгруппированным данным

Когда наблюдение ведется над большим числом пар значений х и у, то, как уже отмечалось, данные удобнее располагать в виде корреляционной таблицы (см., например, табл. 9.3), где указаны распределения по х и по у и соответственно, их частоты и. При этом==n – общее число наблюдений.

При составлении и решении системы нормальных уравнений в этих случаях все суммы значений х и у, их произведений должны учитываться вместе с их весом, а именно:

(29)

Пример. Используя данные табл. 3, составим таблицу (табл. 7) исходных условных данных для обработки по формуле (29).