200106_СДФ1_ПрИС

стики h(t) и вида выходного сигнала uвых(t) на конкретном примере простейшей RC- цепочки, известной под названием интегрирующей цепочки:

Предварительно перед анализом необходимо вспомнить основные формулы электротехники: законы Кирхгофа, Ома, расширение закона Ома для комплексных сопротивлений, формулы комплексных сопротивлений для R, C, L.

1. Вычисление импульсной характеристики

Напомним, что импульсная характеристика – это отклик системы на воздействие сигнала δ(t). Используя спектральные представления, можно записать:

По определению для гармонических сигналов запишем:

Это интеграл в комплексной плоскости. Для его вычисления необходимы знание методов теории функции комплексного переменного. Используя эти методы можно показать [Баскаков С.И.], что после интегрирования получим:

При t = 0 происходит разрыв функции. График h(t)

h(t)×RC

1

0,5

RC

Мы получили отклик RC-цепочки на сигнал типа δ(t). Видно, что короткий импульс как бы растянулся во времени, что соответствует сглаживающему и растягивающему свойству интегрирующей цепочки.

2. Вычисление выходного сигнала

Найдём отклик системы на функцию единичного скачка σ(t). Функция Хевисайда по определению равна

Для простоты будем считать (в энергетическом плане при этом ничего не изменится, зато запись немного упростится):

Распишем интеграл Дюамеля для функции uвх (t ) = σ(t ):

Итак, мы получили:

− t uвых (t ) = 1 - e RC

σ(t)

1

uвых(t)

U

где t = RC – постоянная времени RC-цепочки.

Зная K(jω), получим точный вид АЧХ и ФЧХ. Применяя соотношение для комплексных чисел

–π/4

–π/2

ϕK

Выводы:

1. Рассмотрим область частот ωτ >>1. В этой области

ной области. Следовательно, для частот ω и при параметрах цепи τ = RC, при кото-

рых выполняется приближенное неравенство ωτ >>1, и соответственно, приближенное равенство (*), происходит приближенное интегрирование сигнала, а саму RC- цепочку в этом случае можно назвать интегратором. Близость приближенного интегрирования к идеальному зависит от полноты выполнения неравенства ωτ >>1 (ω >>1/τ).

2. Из графика АЧХ видно, интегрирующая цепочка может использоваться в качестве фильтра нижних частот (ФНЧ). Область пропускания фильтра на уровне половинной мощности (по амплитуде уровень 0,707) – от 0 до частоты ωс = 1/τ , которую называют частотой среза фильтра.

Примечание. То, что интегрирующая RC-цепочка является ФНЧ, поясняет также сглаживающее действие этой цепочки: поскольку верхние частоты ослабляются сильнее, это приводит к тому, что резкие перепады сигнала уменьшаются, т.е. происходит сглаживание сигнала.

Очевидно также, что интегрирующая RC-цепочка – это неидеальный ФНЧ, у которого:

1)неидеальная АЧХ;

2)неидеальная ФЧХ.

(Идеальный ФНЧ имеет прямоугольную АЧХ и линейную ФЧХ).

Примечание. Если фазовый сдвиг jK(ω) с изменением частоты гармоники ω растет линейно jK(ω) = k× ω,

где k = const, то это означает постоянный временной сдвиг для всех гармоник, что соответствует просто задержке всего сигнала без фазовых искажений. Постоянный множитель k будет определять величину временной задержки сигнала.

Из графика АЧХ видно, что данная RC-цепочка может использоваться также для фазового сдвига гармонического сигнала (для частоты ωс = 1/t сдвиг на 45°). Это ее свойство применяется, например, в транзисторных автогенераторах синусоидального сигнала, в которых для обеспечения требуемой положительной обратной связи (так называемое условие баланса фаз в автогенераторах) необходим сдвиг фазы на 180°.

Дифференцирующая RC-цепочка

Рассмотрим другой вид RC-цепочки:

Из курса электротехники мы знаем, что это дифференцирующая цепочка. Вследствие этого, из общих эвристический соображений понятно, что мы не можем

вычислить импульсную характеристику, т.к. не известно, что представляет собой дифференциал от δ(t). Также поэтому мы не можем с помощью импульсной характеристики получить выражение для выходного сигнала uвых(t).

Для вычисления uвых(t) применим другой математический подход. Перед этим получим выражение для АЧХ и ФЧХ дифференцирующей RC-цепочки:

|K|

1,0

0,707

Выводы:

1. Из свойств преобразования Фурье следует, что произведение на множитель jω (а следовательно, и jωt) в частотной области, означает дифференцирование во временной области. Таким образом, в области ωt<<1, где K(jω) ≈ jωt, данная RC- цепочка ведет себя как приближенный дифференциатор. Точность дифференцирования зависит от полноты выполнения условия: ωt<<1. Дифференцирование означает, что сигнал на выходе увеличивается в моменты времени наибольшего изменения входного сигнала

сигнал на входе

сигнал на выходе дифференцирующей RC-цепочки

2. Из графика АЧХ видно, что дифференцирующая цепочка представляет собой неидеальный фильтр верхних частот (ФВЧ) с частотой среза фильтра ωс = 1/t.

Примечание. Это также поясняет обостряющее (т.е. обратное сглаживанию) действие RC- цепочки: поскольку верхние частоты усиливаются больше, чем нижние частоты, это приводит к тому, что резкие перепады сигнала увеличиваются. В результате форма сигнала обостряется.

Рассмотрим теперь приближенный вид uвых(t). Для этого используем не интеграл Дюамеля, определяющий uвых(t) в зависимости от uвх(t) и h(t), а просто применим известные формулы электротехники.

uC

Ток в конденсаторе пропорционален падению напряжения uС:

где τ = RC.

Примечание. Полученное уравнение выражает связь uвых и uвх с помощью линейного дифференциального уравнения. Связь входного и выходного сигналов в самом общем виде выражается с помощью линейных дифференциальных уравнений [см. Баскаков С.И.].

Если τ = RC мала настолько, что выполняется неравенство:

то уравнение (*) можно переписать:

u R ≈ τ duвх dt

или

uвых (t) ≈ τ duвх dt

Таким образом, мы показали еще раз другим способом, что RC-цепочка выполняет операцию приближенного дифференцирования сигнала. Ранее мы получили условие дифференцирования ωτ<<1. Определим теперь более точно это условие с учетом параметров заданного сигнала.

Очевидно, что выполнение неравенства (**) зависит не только от параметров цепи (τ = RC), но и от параметров входного сигнала, т.е. необходимо, чтобы быстрота его изменения duR/dt не была слишком большой. Это означает требование, чтобы ВЧ гармоники в спектре входного сигнала были малы по сравнению с НЧ гармониками, т.е. спектр входного сигнала должен быть сосредоточен в НЧ области с верхней граничной частотой ωв.

Таким образом, верхняя граничная частота спектра ωв должна быть мала так, чтобы выполнялось условие, при котором происходит дифференцирование, т.е. ωτ<<1. Из этого получим

ωвτ<<1 → τ<<1/ ωв

Для примера рассмотрим прямоугольный импульс. Для прямоугольного импульса основной лепесток спектра заканчивается на частоте: ω = 2π/τи . Примем ее за верхнюю граничную частоту ωв . В результате получим:

Таким образом, RC-цепочка пригодна для дифференцирования данного сигнала, если произведение RC много меньше длительности этого сигнала. Если это условие не выполняется, то данный прямоугольный сигнал дифференцироваться не будет и сигнал пройдет через RC-цепочку без существенных изменений (единственное изменение – будет подавлена постоянная составляющая сигнала). В этом случае дифференцирующую RC-цепочку используют, например, как развязку по постоянному току между усилительными каскадами.

Аналогично применяя формулы электротехники, можно получить выражение выходного сигнала для интегрирующей цепочки

uвых ≈ 1τ ∫ uвх (x) dx

иусловие, при котором происходит приближенное интегрирование прямоугольного сигнала с заданными параметрами (τи):

RC >> τи

Роль RC-цепочек в теории цепей

В теории цепей RC-цепочки играют такую же важную роль, как гармонические сигналы в теории сигналов. Важная роль RC-цепочек обусловлена тем, что любые цепи можно, в конечном счёте, представить как совокупность RC-соединений, с помощью так называемых схем замещения эквивалентных схем.

Упрощённая принципиальная схема усилителя напряжений с ОЭ:

Транзистор – это полупроводниковый прибор, через который протекает ток; он имеет некоторое сопротивление Ri , а также некоторую ёмкость Cп (паразитная емкость). Величина протекающего тока зависит от крутизны (S) ВАХ и напряжение на входе uвх:

Правила построения схем замещения:

1)Транзисторы заменяются источниками тока;

2)Полюса источников питания закорачиваются.

В результате схема замещения усилительного каскада будет иметь вид:

Примечание 1. Паразитная ёмкость Cп в схеме замещения включает не только ёмкость полупроводникового электрического прибора, но также и ёмкость соединительных проводов.

Примечание 2. Метод эквивалентных схем применим тогда, когда амплитуда входного напряжения uвх не превышает определенного значения, выше которого необходимо учитывать нелинейность внешних характеристик транзистора (и других электронных приборов). Для биполярного транзистора – это значение – так называемый температурный потенциал p–n -перехода

uT = kT , e

где k – постоянная Больцмана, T – температура p–n -перехода (в K°), e – заряд электрона. При T = 300 K (обычная комнатная температура) uT = 26 мВ.

РАЗДЕЛ 6. Преобразование сигналов в нелинейных электрических цепях

ЛЕКЦИЯ 14

Преобразование сигналов в нелинейных электрических цепях

Нелинейные электрические цепи – это цепи, содержащие нелинейные элементы (диоды, транзисторы), т.е. элементы, имеющие нелинейную ВАХ.

Типичную нелинейную характеристику имеет p–n переход полупроводникового элемента.

Рисунок

На рабочем участке ВАХ можно представить полиномом второй степени: i = a0 + a1u + a2u 2 (*)

Подадим на вход нелинейного элемента сумму двух гармонических сигналов с частотами ω1, ω2:

u = cos ω1t + cos ω2t

Для простоты выкладок мы приняли, что амплитуды сигналов u1 = u2 =1. Подставим в (*):