200106_СДФ1_ПрИС

s(t) = u(t)×cosω0t

Видно, что результирующий модулированный сигнал s(t) – это произведение двух сигналов – произвольного полезного сигнала u(t) и гармонического сигнала cosω0t. Из свойства преобразования Фурье следует, что произведению двух сигналов соответствует свертка их спектров:

u(t)×v(t) « U(ω)*V(ω)

Если второй сигнал в произведении – гармоническое колебание, то свертка приведет к сдвигу первого спектра U(ω) (вместе с зеркальной копией) по частотной оси на ω0, где ω0 – частота гармонического колебания.

Частота несущего колебания ω0 выбирается так, чтобы она превышала верхнюю граничную частоту спектра полезного сигнала U(ω).

Если модулирующий сигнал является так же гармоническим колебанием u(t) =

U cos Wt, то такой сигнал называют однотональным АМ-сигналом.

Для случая однотональной модуляции формула амплитудной модуляции запишется:

s(t) = U cos W t cos w0t = U [cos(w0 + W)t + cos(w0 - W)t] 2

В результате мы получили сумму двух гармонических колебаний с частотами ω0 + W и ω0 – W и с амплитудой, равной U/2.

(рисунки)

Таким образом, мы увидели непосредственно математически, что амплитудная модуляция – это дествительно сдвиг исходного спектра по частоте на ω0.

Рассмотрим формулу АМ модуляции в общем виде:

s(t) = A0[1+M×u(t)] cosω0t,

где A0 – постоянный коэффициент, равный амплитуде несущего колебания в отсутствие модуляции;

M = Am/A0 – коэффициент модуляции;

Am – максимальная амплитуда модулирующего сигнала u(t).

Коэффициент M характеризует глубину модуляции. Соответственно различают три случая: малую глубину модуляции (M<<1), оптимальную модуляцию (M≤1) и случай перемодуляции (M>1).

Из рассмотренного ранее рисунка спектра произведения двух сигналов видно, что если мы будем передавать модулированный сигнал вида s(t) = cosWt cosω0t, то на спектре не будет присутствовать спектральный пик на частоте несущей ω0. Это случай так называемой модуляции с подавлением несущей или балансная модуляция.

В общем случае формула для сигнала с балансной модуляцией записывается как:

s(t) = u(t)×cosω0t

Достоинство балансной модуляции состоит в том, что при передаче модулированного сигнала не тратится энергия на гармонику несущего колебания, которая не несет никакой полезной информации. Однако балансная модуляция в чистом виде не нашла широкого применения в виду того, что были найдены более усовершенствованные способы модуляции, которые позволяют уменьшить ширину полосы спектра, что имеет более важное значение.

Модуляция с подавлением одной боковой полосы

Из графиков спектра сигнала с амплитудной модуляцией видно, что спектр АМ-сигнала оказывается в два раза шире, чем спектр исходного модулирующего сигнала. Уширение спектра обусловлено присутствием зеркальной копии спектра модулирующего сигнала, которая сама по себе не несет новой информации, а только занимает дополнительную полосу частот. Например, для радиовещания на средних волнах для каждой радиостанции выделяется полоса 9 кГц. Это означает, что можно передавать музыку и речь с ограничением спектра до 4,5 кГц. При этом человек

слышит звук в частотном диапазоне от 20 Гц до 20 кГц, т.е. верхние частоты при вещании на СВ не передаются («срезаются»). С другой стороны, расширению полосы частот, выделяемого на канал, мешает предельная загруженность частотного диапазона существующими каналами. Отсюда очевидна актуальность способов уменьшения полосы частот при передаче по каналам связи (еще один пример: количество частотных каналов при мобильной телефонной связи).

Один из таких способов уменьшения ширины полосы – передача сигналов с одной боковой полосой (ОБП или SSB – single side band). В случае ОБП-модуляции передается только одна полоса спектра модулированного сигнала (правая полоса или левая), другая при этом подавляется (фильтром). Огибающая такого ОБПсигнала будет немного отличаться от огибающей обычного АМ-сигнала. Поэтому непосредственная демодуляция ОБП-сигнала (с выделением огибающей) становится уже неприемлемой и требуются специальные способы демодуляции ОБП-сигнала. Дальнейшим усовершенствованием ОБП-модуляции является частичное или полное подавление несущего колебания для еще более эффективного использования мощности передатчика.

ЛЕКЦИЯ 7

Частотная и фазовая модуляция

До сих пор мы рассматривали сигналы с амплитудной модуляцией. В АМсигналах информация о полезном сигнале u(t) заключена в амплитуде несущего гармонического колебания

s(t) = A(t) × cos(wt - j),

где A(t) ~ u(t).

Из формулы гармонического сигнала видно, что информацию о полезном сигнале можно заключить и в два других параметра гармонического колебания: частоту w или фазу j. В первом случае модуляцию называют частотной модуляцией (ЧМ, английская аббревиатура FM – frequency modulation), во втором, фазовой модуляци-

ей (ФМ).

Если представить гармоническое колебание в комплексном виде

y = A × eωt −ϕ ,

то из формулы видно, что в обоих случаях модуляции изменяется аргумент, или фазовый угол, комплексного числа. Поэтому ЧМ и ФМ модуляции называют также уг-

ловой модуляцией.

Оба типа угловой модуляции имеют сходные характеристики и отличаются лишь незначительными деталями. Более существенно отличие ЧМ и ФМ модуляции по сравнению с АМ модуляцией, которое заключается в следующих характеристиках.

1.Высокая помехозащищенность. При АМ модуляции амплитуда сигнала s(t) меняется в зависимости от модулирующего сигнала u(t), поэтому возможна ситуация, при которой малые амплитуды АМ-сигнала будут искажены помехами, или шумами (которые всегда присутствует в канале передачи сигналов). При ЧМ/ФМ модуляции амплитуда модулированного сигнала s(t) остается постоянной и независящей от модулирующего сигнала, поэтому ее всегда можно сделать выше уровня шума.

2.Уширение спектра. Спектр при ЧМ/ФМ модуляции становится шире за счёт появления дополнительных гармоник (линейных комбинаций частот гармоник модулирующего сигнала и несущего колебания). Количество таких дополнительных гармоник, т.е. ширина спектра, будет зависеть от глубины модуляции. Это плата за высокую помехозащищённость ЧМ/ФМ-сигналов.

Например, в радиовещании принят стандарт, по которому АМ сигнал, как было уже упомянуто, занимает частотную полосу 9 кГц (две полосы по 4,5 кГц), а ЧМ сигнал – полосу 50 кГц (две полосы по 25 кГц). Такую широкую полосу для передачи одной радиостанции можно выделить только в УКВ диапазоне (этот диапазон также называют FM-диапазоном – по названию типа применяемой модуляции). Диапазоны средних волн (СВ, или MW – middle waves) и коротких волн (КВ, или SW – short waves) слишком тесны для ЧМ/ФМ модуляции, поэтому в них используется АМ модуляция. Диапазон сотовой телефонии относится к верхнему краю диапазона УКВ, поэтому в ней используется, разумеется, ЧМ/ФМ модуляция (при этом модулируются уже не аналоговые сигналы, а цифровые бинарные сигналы; кроме того, дополнительно используется кодовая модуляции, рассмотрение которой не входит в курс ПрИС).

Динамическое представление сигнала. Синтез сигналов

Прежде чем перейти к анализу преобразования сигналов в электрических цепях, рассмотрим понятие динамического представления сигналов.

Из теории разложения в ряд Фурье следует, что любой сигнал s(t) может быть представлен как сумма гармонических колебаний с определенными значениями амплитуд и фаз. При этом если количество гармоник в сумме ограниченно, это приведет к некоторому искажению восстановленной функции времени s(t) – это так называемый эффект Гиббса.

Другими словами, составные гармоники спектра S(ω) содержат всю информацию о сигнале s(t), т.е. S(ω) – это другое, альтернативное представление сигнала. Поэтому спектральную плотность S(ω) называют частотным представлением сигнала, а функцию s(t) – временным представлением.

Такое частотное представление сигнала может использоваться, например, для задач синтеза сигналов – восстановления функции времени путем суммирования элементарных гармоник.

Итак, любой измерительный сигнал можно получить (восстановить) путем суммирования элементарных гармонических колебаний. По аналогии с этим можно поставить задачу синтеза сигналов по непрерывному набору одиночных импульсных сигналов, например, набору коротких прямоугольных импульсов, примыкающих друг к другу, или с помощью скачков напряжений (положительных или отрицательных), следующих друг за другом через короткий интервал времени.

Такие элементарные импульсы или скачки напряжений играют важную роль при математическом описании сигналов в радиотехнике, поэтому получили специальные названия. Рассмотрим эти функции.

1. Функция включения, или функция Хевисайда, σ(t):

Пусть дан сигнал v(t), описывающий переход состояния некоторого физического объекта из «нулевого» значения в «единичное». Математическое описание такого элементарного скачка напряжения (или тока) можно задать следующей интер-

2. Дельта-функция или функция Дирака, δ(t).

Рассмотрим прямоугольный импульсный сигнал с длительностью x и амплитудой 1/x:

Начнем уменьшать длительность x, сохраняя при этом площадь под кривой функции постоянной (т.е. будет расти амплитуда импульса).

В пределе при x→ 0 получим импульс с нулевой длительностью и бесконечной амплитудой. Эта функция получила название дельта-функции или функции Ди- рака. Эта функция везде равна нулю, за исключением одной точки t = 0; при этом ее

интеграл постоянен и равен 1:

∞

∫ δ( t ) dt = 1

−∞

Смещение этой функции во времени на t0 означает, что δ(t) будет отлична от 0 только в точке t = t0 .

Если мы сложим все δ-функции непрерывно следующих друг за другом с определенными коэффициентами s(τ), то в пределе (заменяя суммирование на интегрирование) получим формулу, которая называется динамическим представлением сигнала :

∞

s(t) = ∫ s( τ ) δ( t − τ ) dτ

−∞

Вописываемом таким способом динамическом представлении сигнала предполагается, что для получения одного какого-либо значения сигнала нужно располагать сведениями о поведении этого сигнала на всей оси времени (для сравнения: при частотном представлении для определения спектральной плотности сигнала мы также должны располагать сведениями о поведении этого сигнала на всей временной оси). Динамическое представление сигнала, т.е разложение по элементарным δ- функциям, также как и частотное представление (разложение по элементарным гармоникам), позволяет проводить анализ преобразований сигналов при их прохождении через электрические системы.

Всоответствии с динамическим представлением сигнала можно предложить схему синтеза измерительного сигнала любой произвольной формы, используя временное разложение сигнала по δ-функциям:

РАЗДЕЛ 4. Сигналы и электрические цепи.

ЛЕКЦИЯ 8

Электрические цепи, устройства и системы

Для передачи информации по каналам связи, и последующего приёма переданной информации (то есть для преобразования сигналов) необходимы специальные технические устройства – электрические цепи или системы. Электрические цепи (системы) с источниками энергии называют активными, а без источников – пас- сивными. Электрические цепи в общем случае можно представить четырёхполюсни- ком с одним входом (пара полюсов, или зажимов) и одним выходом (другая пара полюсов):

Часть электрической цепи с двумя выделенными полюсами называют двухпо- люсником. Простые пассивные двухполюсники – это резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы. Активные двухполюсники – это электрические батареи, аккумуляторы, источники напряжения или тока. Более сложными активными двухполюсниками являются генераторы сигналов.

C R L

Четырёхполюсники – это любые электрические цепи, приборы или устройства, которые могут быть простыми – как отдельные части электрических схем, так и сложными – такие как отдельные блоки и каскады приёмных и передающих устройств, измерительные приборы и т.д. Примером простого четырёхполюсника является соединение двух или нескольких двухполюсников:

L C

R

a) Т-образный четырехполюсник; б) П-образный четырехполюсник; в) Г- образный четырехполюсник

Классификация электрических цепей

Различают электрические цепи (системы): линейные, нелинейные, параметрические.

Линейная система – это электрическая цепь (двухполюсники или четырехполюсники), имеющая линейную зависимость выходных значений (напряжения или тока) от входных значений (напряжения или тока). Соответственно, нелинейная система – это электрическая цепь, имеющая нелинейную зависимость выходных значений от входных. Для двухполюсников такая зависимость выражается вольтамперной характеристикой (ВАХ), которая показывает как изменяется напряжение на двухполюснике в зависимости от протекающего тока (или наоборот, как изменяется протекающий ток в зависимости от приложенного напряжения):

u

2

1

3

i

Рис. Вид вольт-амперной характеристики для различных двухполюсников: 1 – линейная; 2 и 3 – нелинейные

Для четырёхполюсников вид зависимости выходных значений от входных определяется коэффициентом передачи K. Различают коэффициент передачи по напряжению KU и коэффициент передачи по току KI . Коэффициент передачи выража-

ется в нескольких характеристиках: это амплитудная характеристика, амплитудно- частотная характеристика и фазо-частотная характеристика.

1. Амплитудная характеристика. Амплитудная характеристика показывает, как изменяется значение выходного напряжения (тока) в зависимости от амплитуды входного напряжения (тока). При этом предполагается, что входным сигналом является гармонический сигнал, частота которого может изменяться в широком диапазоне.

uвых = f (uвх)

Амплитудная характеристика может быть линейной и нелинейной. Линейность/нелинейность амплитудной характеристики является важным показателем электрических систем. Линейность указывает на отсутствие нелинейных искажений при прохождении сигналов через электрическую цепь. Для сложных электрических систем обычно указывают диапазон линейности амплитудной характеристики, поскольку трудно добиться линейности во всём диапазоне входных значений.

Uвых

линейный

участок

внутренних

шумов

Рис. Амплитудная характеристика произвольного четырехполюсника

2. Зависимость коэффициента передачи от частоты K(f). Входной сигнал может иметь различные частоты, поэтому коэффициент передачи может зависеть от частоты K(f). Кроме того, система может вносить фазовый сдвиг, поэтому коэффициент передачи в общем случае является комплексной величиной. Зависимость мо-

дуля коэффициента передачи от частоты K (f ), называют амплитудно-частотной

характеристикой (АЧХ), а зависимость аргумента K(f) – фазо-частотной характе-

ристикой (ФЧХ). АЧХ показывает, как изменяется амплитуда выходного сигнала в зависимости от изменения частоты входного сигнала при неизменной амплитуде последнего. ФЧХ соответственно показывает, как изменяется фаза выходного сигнала в зависимости от частоты входного сигнала при неизменной фазе последнего. АЧХ или ФЧХ часто называют просто частотными характеристиками системы.

В зависимости от вида амплитудно-частотной характеристики различают:

1) частотно-избирательные системы (фильтры, избирательные усилители

ит.п.);

2)неизбирательные системы (широкополосные системы)

четырехполюсника на уровне половинной мощности

Рис. Пример АЧХ произвольных электрических систем с узкополосной и широкополосной характеристиками