Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие по мат. стат

.pdf

Скачиваний:

484

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

3.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

61
	m
	ni ui		2
	ni ui	u	2
	i 1			k 2 ,
D	i 1
D	n
	n

где u выборочное среднее условной величины U .

Для вычисления основных числовых характеристик воспользуемся упрощающими формулами, для чего составим расчетную таблицу. Выберем

c 3	и k 1.
	Расчетная таблица.

		xi	ni	ui xi 3	ui ni	u2	n
						i	i
		0	4	3	12	36

		1	13	2		52
				2	26
		2	14	1	14	14

		3	24	0	0	0

		4	16	1	16	16

		5	4	2	8	16

		6	3	3	9	27

		7	2	4	8	32

		Сумма	80		11	193

Используя суммы, полученные в расчетной таблице, найдем: 1) выборочное среднее

uini

11 1 3 2,86 ;

i 1

k c

2) выборочную дисперсию

niui

c 2

193

i 1

k 2

2,86 3 2

2,39;

3) выборочное среднее квадратическое отклонение

ˆ D 2,39 1,55;

4) коэффициент вариации

V xˆ 100% 1,552,86 100% 54,2% .

Замечание. Смысл полученных результатов заключается в том, что величина x 2,86 характеризует среднее значение признака X , т.е. среднее значение составило 2,86. Среднее квадратическое отклонение ˆ описывает абсолютный разброс значений показателя X и в данном случае составляет 1,55 . Коэффициент вариации V характеризует относительную изменчивость показателя X , т.е. относительный разброс вокруг его среднего значения x , и в данном случае составляет 54,2 % .

Ответ. x 2,86; D 2,39; S 2 2,42; ˆ 1,55; V 54,2 % .

5. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,9 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если среднее квадратическое отклонение σ 5, выборочная средняя x 20 и объем выборки n 100 .

Решение. Итак, нам известны выборочное среднее x 20 , среднее квадратическое отклонение σ 5, надежность γ 1 α 0,9 и объем выборки

n 100 . Требуется найти доверительный интервал x σn uα a x σn uα .

Все величины, кроме u , известны. Найдем u из формулы

0,1 uα 1 α 0,9 0,45. 2 2

По таблице значений функции Лапласа находим значение uα 1,65 , и получаем доверительный интервал 19,175 a 20,825.

Ответ. 19,175 a 20,825.

6. Используя условия задачи 5, найти доверительный интервал для математического ожидания, но в данной задаче считаем, что среднее квадратическое отклонение σ неизвестно, а известно исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s 5,67 .

Решение. Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то для оценки M ( X ) a служит доверительный интервал


	x	tα, n 1		s		a x	tα, n 1		s	.


			n					n
Значения tα, n 1	находятся					из таблиц распределения Стьюдента с
уровнем значимости	и n 1				степенями свободы. Итак, имеем x 20 ,

s 5,67, n 100 , tα, n 1 t0,1;99 1,665. Получим доверительный интервал

20	1,665 5,67	a 20	1,665 5,67	;
	10		10

	19,056 a 20,944 .

Ответ. (19,056; 20,944).

7. Найти минимальный объем выборки, при которой с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности

σ 1,5.

Решение. Для определения точности оценки используем формулу

δ σn uα.

Из этой формулы выражаем n , получим

	u2	σ2
n	α		.
n	δ2		.
	δ2

При этом n обычно округляется в большую сторону для надежности. По таблице функции Лапласа находим u из условия

0,1 uα 0,975 0,4625. 2

Таким образом, u 1,78. Подставляем эти данные и получаем искомый объем выборки n :

n	1,782 1,52	178, 22.

0, 22

Берем округленно n 179 .

Ответ. n 179 .

8. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n 50 :

xi	1	0	1	2	3

ni	10	5	15	15	5

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней.

Решение. Выборочную среднюю и исправленную выборочную дисперсию найдем соответственно по формулам (2.1а) и (2.4)

x 10 15 30 15 1; 50

S 2 ( 2)2 10 ( 1)2 5 1 15 22 5 1,63. 49

Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

s S 2 1,63 1,28 .

Пользуясь таблицей распределения Стьюдента, по α 0,95 и n 50 находим tα, n 1 2,01.

Найдем искомый доверительный интервал:


x	tα, n 1		s	a x	tα, n 1			s	,


		n					n
подставляя x 1, tα, n 1 2,01, s 1,28, n 50 , получим
		0,64 a 1,36 .
Ответ. (0,64; 1,36).
9. По данным выборки объема n 16						из генеральной совокупности

найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s 1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение σ с надежностью 0,95.

Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала

n 1 S 2

χ2

α 2, n 1

1 α 2, n 1

Значения χ2

и χ2

ищутся по таблицам распределения χ 2 с

α 2, n 1

1 α 2, n 1

уровнями значимости

и 1 2 соответственно

и n 1 степенями

свободы. Подставляем данные значения в формулы, получим:

n 1 15;

1 0,95

0,05

0,025; 1

1 0,025 0,975;

По таблице находим

χ2

27,5; χ2

χ2

6,26.

; n 1

0,025;15

; n 1

0,975;15

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид

15 1

σ2

15 1

;

6,26

27,5

0,55 σ2 2,4 .

Тогда, искомый доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид

0,74 σ 1,55.

Ответ. (0,74; 1,55).

10. За последние пять лет годовой рост цены акции A составлял в среднем 20 % со средним квадратическим отклонением (исправленным) 5 %. Построить доверительный интервал с вероятностью 95 % для цены акции в конце следующего года, если в начале года она равна 100 ден. ед.

Решение. Рассмотрим величины относительно прироста цены акции за год. Таким образом, мы имеем пять наблюдений x1,..., x5 , где xi – это

прирост цены акции в i -м году (в процентах). Необходимо оценить прирост цены акции в следующем, шестом году. Используем формулу (2.17) при n 5 :

x s t , 4 1 15 x6 x s t , 4 1 15 .

Значение t , n 1 t0,05; 4 2,78 находим из таблицы распределения

Стьюдента. Выборочное среднее дано в условии x 20 , исправленное среднее квадратическое отклонение также дано s 5 . Получаем

20 5 2,781,2 x6 20 5 2,781,2 ,

откуда 5 x6 35 . Таким образом, в следующем, шестом году цена акции возрастет от 5 % до 35 %. Следовательно, цена составит от 105 до 135 ден. ед.

Ответ. 105; 135 .

11. По результатам социологического обследования при опросе 1500 респондентов рейтинг президента составил 35 %. Найти границы, в которых с надежностью 95 % заключен рейтинг президента. Сколько респондентов надо опросить, чтобы с надежностью 0,99 гарантировать предельную ошибку социологического обследования не более 1 %?

Решение. Для решения будем использовать формулу (2.13), которая применяется при схеме испытаний Бернулли. Пусть событие A заключается в том, что один опрошенный человек поддерживает президента. Тогда мы получаем схему испытаний Бернулли, число повторений опыта n 1500 , среди которых событие A произошло 525 раз (35 % от 1500 опрошенных), p

– вероятность того, что один случайно взятый человек поддерживает

президента, т.е.			число		p 100 % как раз и составляет рейтинг президента.
Доверительный			интервал для				p	строим по			формуле	(2.13), где
pˆ	525	0,35,	qˆ 1 0,35 0,65,				u	1,96 . Получим
pˆ		0,35,	qˆ 1 0,35 0,65,				u	1,96 . Получим
1500							0,05
1500

		0,35		1,96		0,35 0,65	p 0,35		1,96	0,35 0,65		,

					1500					1500
					1500					1500
						0,338 p 0,362.

Таким образом, рейтинг президента, с вероятностью 0,95, составляет от

33,8 % до 36,2 %.

Теперь решим вторую часть задачи. Предельная ошибка вычисления находится по формуле

u	pˆ qˆ	.

	n

Из этой формулы выражаем число испытаний n , получим:

				u2	pˆ qˆ
		n					.
		n		2			.
				2
Значение u		ищем из условия					u			0,99	0,495 , получим
Значение u		ищем из условия				0	u				0,495 , получим
						0		2	2
u0,01 2,58. Подставляем данные:								2	2
u0,01 2,58. Подставляем данные:
n	2,582 0,35 0,65		15143,31, значит n 15144 .
n		0,012	15143,31, значит n 15144 .
		0,012

Ответ. 0,338; 0,362 , n 15144 .

12. Урожайность зерновых культур в России в 1992–2001 гг. представлена в таблице.

Год	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001

Урожайн
ость,	18	17,1	15,3	13,1	14,9	17,8	12,9	14,4	15,6	19,4
ц/га
Зная,	что	генеральное		среднее		значение a 16,3,			построить

доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с надежностью 0,95 .

Решение. Так как известно генеральное среднее a , для построения доверительного интервала воспользуемся формулой (2.18а).

	Сначала		вычислим	наилучшую оценку		дисперсии при известном
		1	n
среднем S02		1	xi a 2 .
среднем S02			xi a 2 .
		n i 1
	В таблице представлены данные за десять лет, с 1992 по 2001 гг.,
поэтому n 10 . Значения xi , i 1,...,10, берем из второй строки таблицы.
	Составим расчетную таблицу:

			xi		xi a		x a 2
							i
		18			1,7		2,89

		17,1			0,8		0,64

		15,3			1		1

		13,1					3,2					10,24

		14,9					1,4					1,96

		17,8					1,5					2,25

		12,9					3,4					11,56

		14,4					1,9					3,61

		15,6					0,7					0,49

		19,4					3,1					9,61

											10
											xi a 2		44,25
											i 1
	Получим S 2		44,25		4,425 . Уровень значимости 1 0,95 0,05 ,
	Получим S 2				4,425 . Уровень значимости 1 0,95 0,05 ,
		0	10
			10
						0,025,	1		0,975.
					2	0,025,	1	2	0,975.
	Значения	2		и	2		берем			из таблицы		критических точек
		2, n				1 2, n
распределения		хи-квадрат:				2		20,5; 2				3,25 .	Подставляя
						0,025;10				0,975;10

найденные значения в формулу (2.19а), получим искомый доверительный интервал

10 4,425	10 4,425	,
20,5	3,25

1,47 3,69 .

Ответ. (1,47; 3,69).

Задачи для самостоятельного решения

1. Данные выборки приведены в таблице. Найти выборочное среднее, выборочные дисперсии. Построить эмпирическую функцию распределения.

а)

	ni	3	7	2	6	2
б)
	xi	6	3	1	2	4
	ni	3	1	4	5	2
в)
	xi	1	0	1	3	5
	ni	4	2	2	5	2

2. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки: а)

	xi	2560		2600			2620		2650	2700

	ni	2		3			10		4	1

б)
	xi		0,03		0,05			0,06		0,07

	ni		20			50		18		12


3. Найти выборочную				дисперсию D					по данному распределению
выборки:
а)
	xi		340			360		375		380
	ni		20			50		18		12
б)
	xi		0,1			0,5		0,6		0,8
	ni		5			15		20		10
в)
	xi		18,4		18,9			19,3		19,6
	ni		5			10		20		15

4. Найти исправленную выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение по данному распределению выборки:

а)

	xi	0,1	0,5	0,7	0,9
	ni	6	12	1	1

б)
	xi	23,5	26,1	28,2	30,4

	ni	2	3	4	1

5. Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии по данным выборки:

а)

			№	Интервал			ni
		интервала		Интервал			ni
		интервала
		1			5 –0		25

		2			0–5		5

		3			5–10		15

		4			10–15		5

		5			15–20		20

б)
	№ интервала		Интервал			Середины		ni
	№ интервала		Интервал			интервалов		ni
						интервалов
	1		5,05–5,15			5,1		5

	2		5,15–5,25			5,2		8

	3		5,25–5,35			5,3		12

	4		5,35–5,45			5,4		20

	5		5,45–5,55			5,5		26

	6		5,55–5,65			5,6		15

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.201629.52 Кб39политология.docx
#
01.12.2019143.47 Кб3Положение о конкурсе рефератов_НМ_11 07_ИТОГ.docx
#
13.08.2019103.94 Кб26Положение об оплате труда работников.doc
#
13.12.2019547.23 Кб1Полупроводниковая микросхема.docx
#
18.02.2020175.62 Кб0ПОРТФОЛИО_гр_ИВТ-1,2-13.doc
#
10.06.20153.53 Mб484Пособие по мат. стат.pdf
#
29.12.2019182.27 Кб0Пособие по сам раб ПВШ.doc
#
10.06.20151.22 Mб30ПОСОБИЕ по ФХОГТ.pdf
#
28.02.2020779.26 Кб0Пособие ЭМПП.doc
#
19.11.2019241.66 Кб12Постоянный ток МАКЕТ.doc
#
23.09.2019648.86 Кб84Потребители.docx