Пособие по мат. стат

41

по определению и является распределением 2 с n степенями свободы.

Распределение 2 , так же как и распределение Стьюдента, зависит от одного параметра – числа степеней свободы.

Основные числовые характеристики распределения 2 :

M 2 k, D 2 2k,

где k число степеней свободы.

На рис. 2.5 представлен график плотности распределения хи-квадрат с пятью степенями свободы.

Вид кривой распределения зависит от числа степеней свободы. Общий вид графика распределения хи-квадрат при различных значениях параметра

n представлен на рис. 2.6. График плотности распределения 2 асимметричен, но, как видно, асимметрия уменьшается с увеличением числа степеней свободы. При неограниченном увеличении числа степеней свободы хи-квадрат распределение аппроксимируется нормальным распределением.

Таблица квантилей 2 распределения содержит процентные точки только

2

для n 30 (прил. 2). Для n 30 квантили ; n можно определять с помощью таблиц нормального закона распределения (прил. 1).

42

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Распределение Фишера

Зачастую мы сравниваем дисперсии. Например, необходимо знать, являются ли дисперсии двух распределений равными. Для ответа на этот вопрос и служит F-распределение.

43

Если 2n и 2m – независимые случайные величины, распределенные по

закону 2 со степенями свободы n и m соответственно, то случайная величина

(Фишера-Снедекора) со степенями свободы n и m , или распределением дисперсионного отношения.

Поскольку обе величины 2n и 2m неотрицательны, то случайная величина F n,m 0 при x 0 и F n,m 0 при x 0 .

На рис. 2.7 представлен график плотности распределения Фишера с числами степеней свободы n 10, m 15 .

Рис. 2.7

Общий вид графика плотности распределения Фишера при различных значениях параметров приведен на рис. 2.8.

44

Рис. 2.8

Доверительные интервалы

Точечная оценка неизвестного параметра , найденная по выборке объемом n , не указывает на то, какую ошибку мы допускаем, принимая

вместо точного значения параметра его приближенное значение n . Поэтому вводят интервальную оценку, которая определяется двумя числами

– концами интервала. Внутри этого интервала с определенной вероятностью находится неизвестное значение параметра , причем границы интервала не должны зависеть от искомого параметра.

Доверительным интервалом, или интервальной оценкой, называется

доверительного интервала, или доверительной вероятностью. Наименьшее число 0 , такое что для любой точки 1, 2 выполнено условие

, называется точностью оценки (доверительного интервала). Ясно,

что чем меньше длина интервала, тем точнее оценка. Число 1

называется уровнем значимости.

Если границы доверительных интервалов, построенных формально, из каких-либо теоретических соображений, выходят за рамки возможного, их «округляют» до разумных пределов.

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии

45

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону, т.е. X Na, σ , причем значение a неизвестно, значение σ2 известно.

Задача заключается в том, чтобы построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания, соответствующий заданной надежности (доверительной вероятности) γ 1 α .

Для решения этой задачи из нормальной генеральной совокупности производится выборка x1, x2, , xn объема n . Элементы выборки независимы

Выше говорилось о том, что значение u находится из условия

где 0 x – функция Лапласа, значения которой находятся по таблице

(прил. 1).

Таким образом, с вероятностью 1 случайная величина Z попадает в интервал u ,u , т.е.

Выразим математическое ожидание a из двойного неравенства и получим доверительный интервал для неизвестного математического ожидания

Как мы видим, получился симметричный интервал, который можно записать в виде

истинного значения математического ожидания a , поэтому называют

точностью вычисления или предельной ошибкой вычисления.

Из этой формулы следует, что увеличение объема выборки приводит к уменьшению доверительного интервала, следовательно, к увеличению точности интервальной оценки. Из формулы (2.11) можно найти минимальный объем выборки, который обеспечит заданную точность :

испытании, неизвестна. Требуется построить доверительный интервал с надежностью для неизвестной вероятности.

Пусть случайная величина X равна числу появлений события A в n испытаниях. Тогда, согласно центральной предельной теореме для схемы испытаний Бернулли, случайная величина

Z X np npq

47

имеет стандартное нормальное распределение при большом числе n . Тогда с вероятностью 1 выполняется неравенство

Примеры

1. Пусть случайная величина X Na, 2 . Найти доверительный интервал для математического ожидания a , если n 16; x 20,01; γ 1 α 0,95.

Решение. Сначала находим значение u , используя таблицу функции Лапласа (прил. 1):

0 u 1 0,95 0, 475. 2 2

Находим по таблице u 1,96 . Тогда точность оценки, согласно формуле (2.11), будет равна

2 1,96 0,98 . 16

48

Доверительный интервал будет

x ; x 20,01 0,98;20,01 0,98 19,03; 20,99 .

2.Фирма коммунального хозяйства желает на основе выборки оценить среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 99 % и точностью, меньшей 10 ден.ед. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, равным 35 д.е., найдите минимальный объем выборки.

Решение. По условию требуется найти такое n , при котором

P(| x a | 10) 0,99.

Приравняв 1 0,99, по таблице функции Лапласа находим u , при котором

минимальный объем выборки, который обеспечивает точность вычисления, равную 10 д.е., nmin 83.

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии

Пусть случайная величина X Na, , и дисперсия для нее неизвестна.

Задача состоит в следующем: построить доверительный интервал для неизвестного математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности 1 .

Для решения задачи из генеральной совокупности произведена выборка x1, , xn объемом n . На основании выборки найдены наилучшие

несмещенные оценки неизвестных параметров

имеет стандартное нормальное распределение. Так как дисперсия 2 неизвестна, среднее квадратическое отклонение в случайной величине Z заменим на исправленное среднее квадратическое отклонение s , при этом получим случайную величину

t sx na ,

которая имеет распределение Стьюдента с n 1 степенями свободы. Введем критические границы распределения Стьюдента с n 1 степенями свободы, обеспечивающие надежность, равную 1 . Используя симметричность двусторонних критических границ распределения Стьюдента, имеем

P | t | t , n 1 1 .

Получаем, что с вероятностью 1 выполняется неравенство

t ,n 1 sx na t ,n 1.

Решая неравенство относительно a , получим, что с вероятностью 1 выполняется неравенство

Значения t , n 1 находятся из таблиц распределения Стьюдента с

уровнем значимости и n 1 степенями свободы (прил. 3). Точность оценки вычисляется по формуле

50

Полученный интервал, как и в случае известной дисперсии, улучшить нельзя.

Таким образом, если дисперсия известна, то используют критическую границу нормального распределения, а если дисперсия неизвестна – критические границы распределения Стьюдента с n 1 степенями свободы. При малых выборках эти границы различаются значительно, но при больших выборках этой разницей уже можно пренебречь. Поэтому в случае неизвестной дисперсии и большого числа n с вероятностью 1 доверительный интервал для неизвестного математического ожидания можно брать

Данная формула может быть полезна в качестве прогноза на будущее. Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом

n 12 :

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.

Решение. Найдем выборочное среднее x и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s . Для этого перейдем к условным вариантам ui 10 xi , тогда

1 10

u n ni xi 4, 2 , i 1

следовательно,

x 10u 0,42 ,