Пособие по мат. стат

31

Отметим, что все выборочные центральные моменты k сходятся по

значению, стоящему в середине вариационного ряда (либо полусумме двух значений, стоящих рядом в середине, при четном числе наблюдений). Коэффициентом вариации вариационного ряда называется процентное отношение среднеквадратического отклонения к средней арифметической:

ˆ ˆ

V x 100% ,

коэффициентом асимметрии – число

3 ,3

и эксцессом вариационного ряда называется число

4 .4

Примеры

1. Найти несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии, начальные моменты второго и третьего порядков и центральные моменты первого и второго порядков по выборке объема n 20:

32

таким образом, центральный момент первого порядка всегда равен нулю.

Центральный момент второго порядка – это неисправленная выборочная дисперсия, ее удобнее вычислить по формуле (2.3):

2 D x2 x 2 5,3 (1,9)2 5,3 3,61 1,69.

Следует обратить внимание на то, что выборочная дисперсия не может быть отрицательным числом.

Осталось вычислить неисправленную выборочную дисперсию S 2 , для этого используем формулу (2.4):

Решение. Для того чтобы упростить вычисления, перейдем к условным вариантам

33

ui xi 2844 .

Получим следующее распределение:

Вычислим выборочное среднее условной величины по формуле (2.1а):

Так как u x 2844 , то u x 2844 , следовательно,

x u 2844 15,72 2844 2859,72.

Отметим, что D(u) D(x 2844) D(x) . То есть при переходе к

условным вариантам путем сдвига на некоторую константу выборочная дисперсия не меняется.

3. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n 10 :

Решение. Перейдем к условным вариантам

ui 100 xi .

Получим следующее распределение:

Вычислим сначала выборочное среднее u и u2 :

u 5 12 16 3,3 , 10

34

u2 5 3 16 2 64 18,1. 10

Выборочная дисперсия условной величины равна

D(u) u2 u 2 18,1 (3,3)2 7, 21.

Так как u 100 x , то u 100 x . Итак, выборочное среднее исходной варианты

Аналогично, используя свойства дисперсии, получаем

Основные распределения случайных величин, используемые в математической статистике

Квантили и процентные точки распределения

При использовании различных методов математической статистики, построении статистических критериев, интервальных оценок неизвестных параметров широко используются понятия квантилей, процентных точек односторонних и двусторонних критических границ распределений.

Квантилью уровня p , или p -квантилью непрерывной случайной величины X с функцией распределения FX x , называется такое возможное значение x p этой случайной величины, для которого вероятность события

X xp равна заданной величине p , т.е. P X xp p, 0 p 1.

Из определения следует, что x p есть решение, по предположению единственное, уравнения FX xp p, 0 p 1. Геометрически x p есть такое

значение случайной величины X , при котором площадь криволинейной трапеции, ограниченная графиком плотности распределения и осью абсцисс и лежащая левее x p , равна p .

35

На рис. 2.1 показана квантиль уровня 0,8 (20 %-ная точка) для стандартного нормального распределения (на графиках плотности и функции распределения).

Рис. 2.1

Процентной точкой уровня q, или q %-ной точкой (при 0 q 100 )

для непрерывной случайной величины X с функцией распределения FX x , называется такое значение xq этой случайной величины, что вероятность

события X xq равна q100 , т.е. 1 FX xq P X xq q100 . Геометрически q %-ная точка – это значение случайной величины, при

котором площадь криволинейной трапеции, ограниченная графиком плотности распределения, осью абсцисс и лежащая правее xq , равна q100

называются значения случайной величины, для которых выполнены условия

P X u FX u 2 ;

P u X u FX u FX u 1 ;

36

P X u 1 FX u 2 .

Рис. 2.2

Критические точки для заданного распределения определяют границы, за пределы которых случайная величина выходит достаточно редко. Например, для распределения Стьюдента с n степенями свободы критической точкой с уровнем значимости (для двусторонней области) называется величина tкр tкр α;n , такая что для случайной величины X с

данным распределением выполнено условие P X tкр α , где α обычно

выбирается достаточно малым (близким к нулю), например, α 0,05 . Более подробно это понятие будет рассмотрено далее.

Распределение Стьюдента

Пусть генеральная совокупность X имеет нормальное распределение Na; , т.е. математическое ожидание случайной величины равно a ,

дисперсия – 2 . Рассмотрим случайную выборку объема n из генеральной совокупности. Выборочное среднее

X X1 X 2 ... X n n

при больших n также имеет нормальное распределение с параметрами a и

38

Пример. Менеджер компании имеет бюджет 150000 долл. на четыре различных проекта. Сколькими степенями свободы располагает менеджер?

Решение. Общий бюджет четырех проектов можно рассматривать как их среднюю арифметическую, умноженную на число проектов:

x1 x2 x3 x4 n X .

Менеджер имеет три возможности (в пределах общего бюджета) любого распределения сумм на любые три из четырех проектов. Как только средства на первые три проекта распределены, у менеджера не остается выбора при распределении средств на четвертый проект. Он может выделить на этот проект средства, равные разности между 150000 (общей выделенной суммой) и суммой, выделенной на три предыдущие проекта. Следовательно, менеджер располагает тремя степенями свободы.

Враспределении Стьюдента мы вычисляем s, используя n наблюдений

иоценивая один параметр (среднюю арифметическую). Отсюда k n 1 степеней свободы.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины t равны соответственно:

M t 0, D t k , k 2

дисперсия существует только при k 2 .

Мода и медиана равны математическому ожиданию и равны нулю. Таким образом, распределение Стьюдента симметрично относительно точки x 0.

На рис. 2.3 представлен график плотности распределения Стьюдента с тремя степенями свободы.

39

Рис. 2.3

График распределения Стьюдента отличается от графика стандартного нормального распределения, он более плосковершинный. Чем больше число степеней свободы, тем менее распределение Стьюдента отличается от нормального. В случае неограниченного возрастания числа степеней свободы распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному распределению. На практике формула (2.8) используется только тогда, когда мы имеем выборку, извлеченную из нормальной генеральной совокупности, объема n 30 .

Аналитическое выражение функции плотности распределения Стьюдента имеет довольно сложную форму записи. Для определения вероятностей обычно пользуются готовыми таблицами (см. прил. 3).

Квантили распределения Стьюдента находятся из уравнения

P tn 1 t ; n 1

или

P t , n 1 tn 1 t , n 1 1 .

Геометрически квантиль t ; n 1 есть такое значение случайной

величины t , что суммарная площадь заштрихованных криволинейных трапеций равна (рис. 2.4)

40

нормальному закону с параметрами ai и i , т.е. Xi ~ Nai ; i , их можно

стандартизировать (центрируем и нормируем). Получим независимые случайные величины