Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие по мат. стат

.pdf

Скачиваний:

491

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

3.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

141

5. События A и B независимы и совместны. Разыграть четыре испытания, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,7, а события B – 0,4.

Решение. Возможны четыре исхода испытания: A1 AB , причем в силу независимости событий

P AB P A P B 0,7 0,4 0,28;

A2 AB , причем P AB 0,7 0,6 0,42 ;

A3 AB , причем P AB 0,3 0,4 0,12 ;

A4 AB , причем P AB 0,3 0,6 0,18.

Таким образом, задача сведена к разыгрыванию полной группы

четырех событий:		A1 с	вероятностью		p1 0,28 , A2		с вероятностью
p2 0,42 , A3 с вероятностью p3 0,12, A4					с вероятностью		p4 0,18 .
	Эта задача, в свою очередь, сводится к разыгрыванию дискретной
случайной величины X с законом распределения (см. пример 4)

	X	1		2		3	4

	p	0,28		0,42		0,12	0,18

Выберем из таблицы приложения 5 четыре случайных числа: 0,32; 0,17; 0,9; 0,05. Интервал 0, 1 разбиваем на четыре частичных интервала:

1 0;0,28 , 2 0,28;0,7 , 3 0,7;0,82 , 4 0,82;1 .

Случайное число 0,32		принадлежит интервалу 2 , следовательно,
X 2 и произошло			; 0,17 1, следовательно, X 1
	событие	A2 AB		и
произошло событие	A1 AB .	Аналогично находим остальные события.		В

итоге получим следующую последовательность: AB, AB, AB, AB .

6. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X , распределенной равномерно в интервале 2, 9 , зная ее

функцию распределения FX x x 2 9 2 x 2 7 2 x 9 . Решение. Приравняем заданную функцию распределения к случайному

числу ri : FX xi ri , получим равенство

xi 2 ri . 7

142

Решив это уравнение относительно xi , получим явную формулу для разыгрывания возможных значений случайной величины X :

xi 7ri 2.

7. Разыграть три возможных значения непрерывной случайной величины X , распределенной равномерно в интервале 2,10 .

Решение. Напишем функцию распределения величины X , распределенной равномерно на интервале a,b :

FX x x a . b a

По условию a 2, b 10, следовательно,

FX x x 2 . 8

Напишем уравнение для отыскания возможных значений xi , для чего приравняем функцию распределения к случайному числу:

	xi 2	ri .
8		ri .
8
Отсюда xi 8ri 2 .
Теперь выберем три случайных числа, например, r 0,11,			r 0,17 ,
		1	2

r3 0,66 . Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно xi , в итоге получим соответствующие возможные значения величины X :

	x1 8 0,11 2 2,88; x2 8 0,17 2 1,36; x3 8 0,66 2 7,28 .
	8. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной
величины, заданной плотностью вероятности f x b		1 ax 2 в интервале
0,1	b a ; вне интервала f x 0 .

	Решение. Известно, что
	x
	FX x f x dx .

143

В частности,

FX xi

f x dx .

Следовательно, если известна плотность вероятности

f x ,

то для

разыгрывания величины

можно вместо уравнений

FX xi ri

решить

относительно xi уравнение

x dx ri .

Составляем уравнение:

f x dx 0dx

dx b

ri .

ax 2

1 ax 2

Вычисляем определенный интеграл:

1 ax 2

a 1

1 axi

a 1

axi

1 axi

Таким образом, получим уравнение

bxi

ri .

1 axi

Разрешаем его относительно xi :

bxi ri 1 axi , bxi ri ari xi , bxi ari xi

ri , xi b ari

ri , xi

ari

Явная формула для разыгрывания возможных значений непрерывной

случайной величины X имеет вид

b ari

144

9. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X , заданной функцией распределения

FX x 1

2e 2x e 3x , 0 x .

Решение. Представим заданную функцию в виде

FX x

1 e 3x

1 e 2x .

Функции, заключенные в скобках, являются функциями распределения

показательного

закона, поэтому можно

принять F x 1 e 3x ,

C 1 3,

x 1 e 2x ,

C 2 3.

Таким

образом,

исходную функцию

F x

представили в виде

x C F x C F x .

Введем в рассмотрение вспомогательную дискретную случайную

величину Z с законом распределения

Выберем

независимые

случайные

числа r1 и r2 . Разыграем Z по

случайному числу r1 , для чего построим частичные интервалы 1 0, 1 3 ,

1 3, 1 . Если r 1 3, то

Z 1; если

r 1 3, то Z 2 .

Возможное значение X находят, решая относительно x уравнение

1 e 3x r

, если r

1 3,

или

1 e 2x r

, если r

1 3.

Решив эти уравнения, получим

	145
x ln 1 r		3	, если r 1 3,
	2		1
x ln 1 r		2	, если r 1 3.
	2		1

Задачи для самостоятельного решения

	1. Разыграть восемь возможных значений дискретной случайной
величины X , закон распределения которой задан в виде таблицы:

	X	3	8	12	23

	p	0,2	0,12	0,43	0,23

	Указание. Для определенности принять случайные числа: 0,33; 0,18;
0,51; 0,62; 0,32; 0,41; 0,95; 0,15.
	2. Разыграть	шесть опытов	по схеме	Бернулли:	опыт состоит из

четырех испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,5.

Указание. Принять для определенности случайные числа: 0,1009;

0,7325; 0,3376; 0,5201; 0,3586; 0,3467.

	3. Заданы вероятности четырех событий, образующих полную группу:
p P A		0,15,	p	P A	0,64 ,	p P A		0,05,	p	P A	0,16 .
1	1		2	2		3	3		4	4

Разыграть десять испытаний, в каждом из которых появляется одно из рассматриваемых событий.

Указание. Принять для определенности случайные числа: 0,37; 0,54;

0,2; 0,48; 0,05; 0,64; 0,89; 0,47; 0,42; 0,96.

4.События A и B независимы и совместны. Разыграть 5 испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,6, а события

B – 0,8.

Указание. Для определенности принять случайные числа: 0,69; 0,07;

0,49; 0,41; 0,38.

5.События A и B зависимы и совместны. Разыграть пять испытаний, в

A 0,5 , P B 0,6 ,

P AB 0,2 .

Указание. Для определенности принять следующие случайные числа:

0,66; 0,06; 0,57; 0,47; 0,17.

6. Разыграть пять возможных значений непрерывной случайной

величины X , заданной плотностью	вероятности f x 10	1 2x 2	в
интервале 0, 1 8 ; вне этого интервала	f x 0 .

Указание. Для определенности принять следующие случайные числа:

0,186; 0,333; 0,253; 0,798; 0,145.

146

7. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, заданному плотностью

вероятности f x e x в интервале 0, ; вне этого интервала f x 0 . 8. Разыграть четыре возможных значения непрерывной случайной

величины X , заданной плотностью вероятности f x 1 x2 в интервале0, 2 ; вне этого интервала f x 0 .

Указание. Для определенности принять следующие случайные числа:

0,35; 0,96; 0,31; 0,53.

FX x 1

2e 3x 3e 4x , 0 x .

Указание. Принять F

1 e 3x , F

1 e 4x .

10. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания

непрерывной случайной величины X , заданной функцией распределения

FX x 1

e x 2e 2x 4e 3x , 0 x .

Указание. Принять F

1 e x , F x

1 e 2x, F x 1 e 3x .

Ответы. 1. 8, 3, 12, 12, 8, 12, 23, 3; 2. 1, 3, 2, 2, 2, 2; 3.

A2 , A2 , A2 , A2 ,

A1, A2 , A4 , A2 , A4 ; 4. A3 , A1 , A2

, A1 , A1 ; 5. A3 , A1 , A3 , A2 , A1 ; 6. 0,019;

0,036; 0,027;

0,095; 0,015;

ln ri

;

0,388; 1,6;

0,338; 0,628; 9.

x ln r

, если r 2 5

; x ln r 4,

если

r 2 5 ; 10.

x ln r , если

r 1 7 ; x

ln r 2, если

1 7 r

3 7 ; x

ln r 3, если

r 3 7 .

Контрольные вопросы

1.В чем суть метода Монте – Карло?

2.Что такое случайное число?

3.Чем отличаются случайные числа от псевдослучайных чисел?

4.По какому правилу можно разыграть возможные значения дискретной случайной величины?

5.Каким образом разыгрывается полная группа событий?

6.По каким правилам разыгрывают возможные значения непрерывной случайной величины?

7.В чем заключается метод суперпозиций?

147

Приложение 1

									1		x		t2
		Таблица значений функции Лапласа					0	(x)		2		e		2 dt



											0
x	0(x)	x	0(x)	x	0(x)		x		0(x)
0	0	0,01	0,004	0,02	0,008	0,03			0,012

0,04	0,016	0,05	0,0199	0,06	0,0239	0,07			0,0279

0,08	0,0319	0,09	0,0359	0,1	0,0398	0,11			0,0438

0,12	0,0478	0,13	0,0517	0,14	0,0557	0,15			0,0596

0,16	0,0636	0,17	0,0675	0,18	0,0714	0,19			0,0753

0,2	0,0793	0,21	0,0832	0,22	0,0871	0,23			0,091

0,24	0,0948	0,25	0,0987	0,26	0,1026	0,27			0,1064

0,28	0,1103	0,29	0,1141	0,3	0,1179	0,31			0,1217

0,32	0,1255	0,33	0,1293	0,34	0,1331	0,35			0,1368

0,36	0,1406	0,37	0,1443	0,38	0,148	0,39			0,1517

0,4	0,1554	0,41	0,1591	0,42	0,1628	0,43			0,1664

0,44	0,17	0,45	0,1736	0,46	0,1772	0,47			0,1808

0,48	0,1844	0,49	0,1879	0,5	0,1915	0,51			0,195

0,52	0,1985	0,53	0,2019	0,54	0,2054	0,55			0,2088

0,56	0,2123	0,57	0,2157	0,58	0,219	0,59			0,2224

0,6	0,2257	0,61	0,2291	0,62	0,2324	0,63			0,2357

0,64	0,2389	0,65	0,2422	0,66	0,2454	0,67			0,2486

0,68	0,2517	0,69	0,2549	0,7	0,258	0,71			0,2611

0,72	0,2642	0,73	0,2673	0,74	0,2703	0,75			0,2734

0,76	0,2764	0,77	0,2794	0,78	0,2823	0,79			0,2852

0,8	0,2881	0,81	0,291	0,82	0,2939	0,83			0,2967

0,84	0,2995	0,85	0,3023	0,86	0,3051	0,87			0,3078

0,88	0,3106	0,89	0,3133	0,9	0,3159	0,91			0,3186

0,92	0,3212	0,93	0,3238	0,94	0,3264	0,95			0,3289

0,96	0,3315	0,97	0,334	0,98	0,3365	0,99			0,3389

1	0,3413	1,01	0,3438	1,02	0,3461	1,03			0,3485

1,04	0,3508	1,05	0,3531	1,06	0,3554	1,07			0,3577

1,08	0,3599	1,09	0,3621	1,1	0,3643	1,11			0,3665

1,12	0,3686	1,13	0,3708	1,14	0,3729	1,15			0,3749

1,16	0,377	1,17	0,379	1,18	0,381	1,19			0,383

1,2	0,3849	1,21	0,3869	1,22	0,3883	1,23			0,3907

148

Окончание прил. 1

x	0(x)	x	0(x)	x	0(x)	x	0(x)
1,24	0,3925	1,25	0,3944	1,26	0,3962	1,27	0,398
1,28	0,3997	1,29	0,4015	1,3	0,4032	1,31	0,4049
1,32	0,4066	1,33	0,4082	1,34	0,4099	1,35	0,4115
1,36	0,4131	1,37	0,4147	1,38	0,4162	1,39	0,4177
1,4	0,4192	1,41	0,4207	1,42	0,4222	1,43	0,4236
1,44	0,4251	1,45	0,4265	1,46	0,4279	1,47	0,4292
1,48	0,4306	1,49	0,4319	1,5	0,4332	1,51	0,4345
1,52	0,4357	1,53	0,437	1,54	0,4382	1,55	0,4394
1,56	0,4406	1,57	0,4418	1,58	0,4429	1,59	0,4441
1,6	0,4452	1,61	0,4463	1,62	0,4474	1,63	0,4484
1,64	0,4495	1,65	0,4505	1,66	0,4515	1,67	0,4525
1,68	0,4535	1,69	0,4545	1,7	0,4554	1,71	0,4564
1,72	0,4573	1,73	0,4582	1,74	0,4591	1,75	0,4599
1,76	0,4608	1,77	0,4616	1,78	0,4625	1,79	0,4633
1,8	0,4641	1,81	0,4649	1,82	0,4656	1,83	0,4664
1,84	0,4671	1,85	0,4678	1,86	0,4686	1,87	0,4693
1,88	0,4699	1,89	0,4706	1,9	0,4713	1,91	0,4719
1,92	0,4726	1,93	0,4732	1,94	0,4738	1,95	0,4744
1,96	0,475	1,97	0,4756	1,98	0,4761	1,99	0,4767
2	0,4772	2,02	0,4783	2,04	0,4793	2,06	0,4803
2,08	0,4812	2,1	0,4821	2,12	0,483	2,14	0,4838
2,16	0,4846	2,18	0,4854	2,2	0,4861	2,22	0,4868
2,24	0,4875	2,26	0,4881	2,28	0,4887	2,3	0,4893
2,32	0,4898	2,34	0,4904	2,36	0,4909	2,38	0,4913
2,4	0,4918	2,42	0,4922	2,44	0,4927	2,46	0,4931
2,48	0,4934	2,5	0,4938	2,52	0,4941	2,54	0,4945
2,56	0,4948	2,58	0,4951	2,6	0,4953	2,62	0,4956
2,64	0,4959	2,66	0,4961	2,68	0,4963	2,7	0,4965
2,72	0,4967	2,74	0,4969	2,76	0,4971	2,78	0,4973
2,8	0,4974	2,82	0,4976	2,84	0,4977	2,86	0,4949
2,88	0,498	2,9	0,4981	2,92	0,4982	2,94	0,4984
2,96	0,4985	2,98	0,4986	3	0,4987	3,2	0,4993
3,4	0,4997	3,6	0,4998	3,8	0,4999	4	0,5
4,5	0,5	5	0,5

149

Приложение 2

Критические точки распределения 2 (хи-квадрат)

Число степеней		Уровень значимости
свободы k
свободы k	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99

1	6,6	5	3,8	0,0039	0,001	0,0002

2	9,2	7,4	6	0,103	0,051	0,02

3	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115

4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297

5	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554

6	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872

7	18,5	16	14,1	2,17	1,69	1,24

8	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65

9	21,7	19	16,9	3,33	2,7	2,09

10	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56

11	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05

12	26,2	23,3	21	5,23	4,4	3,57

13	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11

14	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66

15	30,6	27,5	25	7,26	6,26	5,23

16	32	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81

17	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41

18	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01

19	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63

20	37,6	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26

21	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,9

22	40,3	36,8	33,9	12,3	11	9,54

23	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2

24	43	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9

25	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5

26	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2

27	47	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9

28	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6

29	49,6	45,7	42,6	17,7	16	14,3

30	50,9	47	43,8	18,5	16,8	15

150

Приложение 3 Критические точки распределения Стьюдента

Число			Уровень значимости
степеней		(двусторонняя критическая область)
свободы k	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
1	3,08	6,31	12,7	31,82	63,7	318,3	637
2	1,89	2,92	4,3	6,97	9,92	22,33	31,6
3	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84	10,22	12,9
4	1,53	2,13	2,78	3,75	4,6	7,17	8,61
5	1,48	2,01	2,57	3,37	4,03	5,89	6,86
6	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71	5,21	5,96
7	1,42	1,89	2,37	3	3,5	4,79	5,41
8	1,4	1,86	2,31	2,9	3,36	4,5	5,04
9	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25	4,3	4,78
10	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17	4,14	4,59
11	1,36	1,8	2,2	2,72	3,11	4,03	4,44
12	1,36	1,78	2,18	2,68	3,06	3,93	4,32
13	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01	3,85	4,22
14	1,34	1,76	2,15	2,62	2,98	3,79	4,14
15	1,34	1,75	2,13	2,6	2,95	3,73	4,07
16	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92	3,69	4,02
17	1,33	1,74	2,11	2,57	2,9	3,65	3,97
18	1,33	1,73	2,1	2,55	2,88	3,61	3,92
19	1,33	1,73	2,093	2,54	2,861	3,58	3,883
20	1,33	1,73	2,09	2,53	2,85	3,55	3,85
21	1,32	1,72	2,08	2,52	2,83	3,53	3,82
22	1,32	1,72	2,07	2,51	2,82	3,51	3,79
23	1,32	1,71	2,07	2,5	2,81	3,49	3,77
24	1,32	1,71	2,06	2,49	2,8	3,47	3,74
25	1,32	1,71	2,064	2,49	2,797	3,45	3,72
26	1,32	1,71	2,06	2,48	2,78	3,44	3,71
27	1,31	1,71	2,05	2,47	2,77	3,42	3,69
28	1,31	1,7	2,05	2,46	2,76	3,4	3,66
29	1,31	1,7	2,05	2,46	2,76	3,4	3,66
30	1,31	1,7	2,045	2,46	2,756	3,39	3,659
40	1,3	1,68	2,023	2,42	2,708	3,31	3,558
60	1,3	1,67	2,001	2,39	2,662	3,23	3,464
120	1,29	1,66	1,98	2,36	2,617	3,17	3,374
	1,28	1,65	1,96	2,33	2,576	3,09	3,291
Число	0,1	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
степеней			Уровень значимости
свободы k		(односторонняя критическая область)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.06.201531.44 Кб37политология на 15.05.docx
#
10.06.201533.54 Кб34политология на 18.03.docx
#
29.03.201629.52 Кб49политология.docx
#
13.08.2019103.94 Кб26Положение об оплате труда работников.doc
#
01.03.2025547.23 Кб1Полупроводниковая микросхема.docx
#
10.06.20153.53 Mб491Пособие по мат. стат.pdf
#
01.04.2025182.27 Кб1Пособие по сам раб ПВШ.doc
#
10.06.20151.22 Mб33ПОСОБИЕ по ФХОГТ.pdf
#
01.05.2025779.26 Кб8Пособие ЭМПП.doc
#
19.11.2019241.66 Кб15Постоянный ток МАКЕТ.doc
#
23.09.2019648.86 Кб102Потребители.docx