Пособие по мат. стат

121

3.Если абсолютная величина выборочного коэффициента корреляции равна единице, то наблюдаемые значения признаков связаны линейной функциональной зависимостью.

4.С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента

корреляции зависимость становится более тесной и при rB 1 переходит в

функциональную.

Замечание. Так как x и y положительные числа, то знак

выборочного коэффициента регрессии всегда совпадает со знаком углового коэффициента в уравнении прямой линии регрессии.

Оценить параметры yx и b . Оценить годовую прибыль в том случае, если

на развитие производства будет затрачено 12 у. е.

Решение. Для вычисления неизвестных параметров будем использовать формулы

122

Итак, выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет

вид

Y 2,186 x 18,843 .

Для того, чтобы решить вторую часть задачи, надо вычислить значение Y при x 12 :

Y |x 12 2,186 12 18,843 45,072 45 (у. е.).

Для этих данных предполагается, что между признаками X и Y существует линейная регрессионная зависимость Y yx x b.

Требуется

1)оценить параметры yx и b методом наименьших квадратов;

2)пользуясь эмпирическим уравнением регрессии, найти точечную оценку отклонения от номинального размера ширины модели, если длина

модели отклоняется от номинального размера на величину x 1,1 мм;

3) вычислить коэффициент корреляции. Объяснить смысл полученного результата.

Решение

1) Сначала вычислим вспомогательные суммы и выборочные средние. Находим

123

b y yx x 0,08 1,5479 1,175 1,7394.

Следовательно, эмпирическое уравнение регрессии имеет вид

Y 1,5479x 1,7394.

График построенного эмпирического уравнения линейной регрессии приведен на рис. 4.1.

Рис. 4.1

124

2) Найдем точечную оценку отклонения от номинального размера ширины модели, если длина модели отклоняется от номинального размера на

величину x 1,1 мм:

y 1,5479 1,1 1,7394 0,036 мм.

3) Вычислим коэффициент корреляции по формуле

Из полученного результата мы видим, что связь между наблюдаемыми значениями признаков и линейной корреляционной зависимостью не достаточно высока. Это может быть вызвано либо случайными ошибками эксперимента, либо тем, что линейная регрессионная модель плохо согласуется с экспериментальными данными.

125

Используя значения, приведенные в данной таблице, требуется:

1)составить корреляционную таблицу;

2)найти по данным корреляционной таблицы числовые

характеристики выборки x, y, x , y , Kxy , rB ;

3)построить корреляционное поле; по характеру расположения точек на корреляционном поле подобрать общий вид функции регрессии;

4)найти параметры эмпирической линейной функции регрессии Y на Х

иХ на Y и построить их графики.

Решение

1) Составим корреляционную таблицу.

Примем для признака Х следующие границы интервалов:

(30–50), (50–70), …, (130–150),

а для признака Y

(50–70), (70–90), …, (150–170).

Таким образом, длины интервалов составляют 20. После этого подсчитываем количество экспериментальных точек, попадающих в прямоугольники, образованные границами интервалов. В результате получаем корреляционную таблицу, в которой отмечены середины соответствующих интервалов:

2) Для определения характеристик искомых эмпирических уравнений регрессии найдем:

средние арифметические

126

выборочные дисперсии

выборочные средние квадратические отклонения

выборочный корреляционный момент

выборочный коэффициент корреляции

Поскольку выборочный коэффициент корреляции получился близок к единице, то можно сделать вывод, что линейная регрессионная модель выбрана удачно, т.е. она согласуется с экспериментальными данными.

3) Для подтверждения существования линейной регрессионной зависимости между исследуемыми переменными X и Y построим корреляционное поле.

Изобразим результаты измерений {(xi , yi )}, (i 1,2,...,50) в виде точек в декартовой системе координат (рис. 4.2).

127

Рис. 4.2

Визуальная оценка расположения точек на корреляционном поле позволяет принять гипотезу линейной регрессионной зависимости между признаками X и Y.

4) Найдем значения параметров эмпирического уравнения регрессии признака Y на признак Х

значения параметров эмпирического уравнения регрессии признака Х на признак Y

128

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в следующих корреляционных таблицах:

а)

Предполагается, что имеет место линейная зависимость между затратами и прибылью. Найти уравнение зависимости и оценить годовую прибыль в том случае, если на развитие производства будет затрачено 12 у.е.

129

3. Распределение 50 гастрономических магазинов по уровню издержек обращения X (%) и годовому товарообороту Y (млн руб.) представлено в таблице:

связи между переменными с помощью коэффициента корреляции ryx .

4.Годовые прибыли фирмы (в тыс. долларов) за пять лет представлены

вследующей таблице:

Провести линейную регрессию и дать прогноз на следующий год.

5. Имеются данные о растворимости азотнокислого натрия NaNO3 в зависимости от температуры воды. В 100 частях воды растворяется

Предполагая, что количество NaNO3 (случайная величина Y), которое растворяется в 100 частях воды, зависит линейно от температуры (случайная величина Х) раствора, найти параметры a и b в формуле Y ax b по методу наименьших квадратов.

6. Найти уравнения регрессии Y на Х и Х на Y по четырем парам наблюдаемых значений случайной величины ( X ,Y ) :

130

7. Составить корреляционную таблицу и найти линейные уравнения регрессии Y на Х и Х на Y по 10 парам наблюдаемых значений случайной величины ( X ,Y ) :

Контрольные вопросы

1.Какая зависимость называется корреляционной?

2.Дайте определение условного среднего.

3.Дайте определение уравнения регрессии.

4.Как составляется корреляционная таблица?

5.Как определяется выборочный коэффициент регрессии?

6.По какой формуле вычисляется выборочный коэффициент корреляции?