Пособие по мат. стат

111

нулевую гипотезу H0 : M (X ) M (Y ) при конкурирующей гипотезе

H1 : M (X ) M (Y ) .

23.В городе 17036 семей имеют двоих детей. В 4529 семьях – два мальчика, в 4019 – две девочки, в 8488 – мальчик и девочка. Можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что количество мальчиков в семьях с двумя детьми имеет биномиальное распределение с вероятностью рождения мальчика 0,515?

24.В таблице представлены данные о числе сделок, заключенных на фондовой бирже за квартал для 400 инвесторов:

сделок, заключенных инвестором за квартал, имеет распределение Пуассона. 25. В таблице представлены данные о ежемесячных доходах жителей

региона (в руб.) для 1000 жителей.

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что доходы жителей региона можно описать нормальным распределением.

26. В таблице приведены сгруппированные данные по срокам службы (в часах) для 1000 изделий:

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что срок службы изделия имеет показательное распределение.

27. В таблице приведены сгруппированные данные о моментах прибытия машин к бензоколонке в течение 10 часов наблюдений (с 8 до 18 часов):

На уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что моменты прибытия машин распределены равномерно.

Ответы. 1) нет; 2) нулевая гипотеза отвергается; 3) да; 4) да; 5) да; 6) да; 7) нулевая гипотеза отвергается; 8) да; 9) нет; 10) нулевая гипотеза отвергается; 11) а) принимаем нулевую гипотезу; б) отвергаем нулевую гипотезу; 12) нет; 13) нулевая гипотеза принимается; 14) да; 15) нет оснований считать точность станков различной; 16) нулевая гипотеза отвергается; 17) нулевая гипотеза принимается; 18) нет; 19) да; 20) нет оснований отвергать нулевую гипотезу; 21) нулевая гипотеза принимается; 22) нулевая гипотеза отвергается; 23) да; 24) нет; 25) да; 26) нет; 27) нет.

Контрольные вопросы

1.Что называется статистической гипотезой?

2.Дайте определение нулей гипотезы и конкурирующей гипотезы.

3.Что называется статистическим критерием?

4.Дайте определение ошибок первого и второго рода.

5.Как определяется мощность критерия?

6.Что такое критическая область?

7.Чем отличаются односторонняя и двусторонняя критические

области?

8.Какие законы распределения можно применить при построении критической области в случае проверки гипотезы о математических ожиданиях?

9.Какой закон распределения применяется для построения критической области в случае проверки гипотезы о дисперсиях?

10.Какова основная идея критерия χ 2 -Пирсона проверки гипотез о законах распределения?

113

Глава 4

ЭЛЕМЕНТЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Корреляционный анализ предназначен для изучения по выборочным данным статистической зависимости ряда величин. Мы ограничимся рассмотрением зависимости двух величин X и Y .

Две случайные величины могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо статистической, либо они могут быть независимыми.

Строгая функциональная зависимость между случайными величинами реализуется крайне редко, так как эти величины подвержены действию случайных факторов.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость называется корреляционной, если изменение распределения одной из величин приводит к изменению среднего значения другой.

Условным средним y x называется среднее арифметическое значений

Y , соответствующих значению X x .

Пример

Пусть изучается связь между величинами Y и X . Каждому значению X соответствует несколько значений Y . Пусть при X 2 Y принимает три

Две основные задачи теории корреляции

Первая задача теории корреляции – установить форму корреляционной связи, т.е. вид функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т.п.). Наиболее часто функции регрессии оказываются линейными. Если обе функции регрессии f (x) и (x) линейны, то корреляцию называют

линейной, в противном случае – нелинейной.

Вторая задача теории корреляции – оценить тесноту корреляционной связи. Теснота корреляционной зависимости Y от X оценивается по

величине рассеяния значений Y вокруг условного среднего y x . Большее

рассеяние свидетельствует о слабой зависимости либо об отсутствии зависимости. Малое рассеяние указывает наличие достаточно сильной зависимости; возможно даже, что Y и X связаны функционально, но под воздействием второстепенных случайных факторов эта связь оказалась размытой, в результате чего при одном и том же значении x величина Y принимает различные значения.

Аналогично, по величине рассеяния значений X вокруг условного среднего x y , оценивается теснота корреляционной связи X от Y .

Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным данным

Пусть количественные признаки X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью. В этом случае обе линии регрессии будут прямыми. Необходимо найти уравнения этих прямых.

Пусть проведено n независимых испытаний, и были получены n пар чисел:

x1, y1 , x2, y2 , , xn, yn .

То есть это случайная выборка из генеральной совокупности случайной величины ( X ,Y ) . Рассмотрим простейший случай: различные значения x

115

признака X и соответствующие им значения y признака Y наблюдались по

одному разу. В этом случае группировать данные нет необходимости. Также нет необходимости использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение

yx kx b

можно записать в таком виде:

Y kx b .

Угловой коэффициент k прямой линии регрессии Y на X называют

Поставим своей задачей подобрать параметры yx и b так, чтобы точкиx1, y1 , x2, y2 , , xn, yn , построенные по данным наблюдений, как можно

ближе лежали вблизи прямой (4.3). Назовем отклонением разность

Yi yi , i 1,2, ,n ,

где Yi вычисленная по уравнению (4.3) ордината, соответствующая

наблюдаемому значению xi ; yi наблюдаемая ордината, соответствующая

xi , т.е. из пары xi , yi .

Подберем параметры yx и b так, чтобы сумма квадратов отклонений

была минимальной, т.е. используем для отыскания параметров метод наименьших квадратов.

Сумма квадратов отклонений есть функция F , которая зависит от отыскиваемых параметров и имеет вид

n

F ( yx ,b) Yi yi 2

i 1

или

n 2 F ( yx ,b) yx xi b yi .

i 1

116

Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие частные производные:

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно yx и b

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y :

x y xy y c ,

где ρxy выборочный коэффициент регрессии X на Y .

Пример

Затраты X на развитие производства и Y величина годовой прибыли фирмы в течение 5 лет (в у. е.) представлены в таблице:

117

На величину прибыли влияют случайные факторы: Y yx x b . Оценить параметры yx и b . Оценить годовую прибыль в том случае, если на

развитие производства будет затрачено 12 у. е.

Решение. Вычислим неизвестные параметры по формулам (4.4) и (4.5):

раз. В таких случаях данные наблюдений группируют, т.е. подсчитывают частоты nx , ny , nxy . Все сгруппированные данные записывают в виде

таблицы, которую называют корреляционной. Рассмотрим пример:

118

В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения признака X , т.е. 10;20;30;40 , а в первом столбце – наблюдаемые значения признака Y :

0,4;0,6;0,8 . На пересечении строк и столбцов вписаны частоты nxy

наблюдаемых значений пар признаков. Например, частота 5 указывает, что пара чисел (10; 0,4) наблюдалась 5 раз. Черточка означает, что соответствующая пара чисел не наблюдалась, например пара (20; 0,4).

В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма частот первой строки равна ny 5 7 14 26 . Это число указывает, что

значение признака Y , равное 0,4 (в сочетании с различными значениями признака X ) наблюдалось 26 раз. В последней строке записаны суммы частот столбцов.

В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, помещена сумма всех частот (общее число наблюдений n ). Ясно, что nx ny n . В нашем случае

nx 8 21 13 18 60, ny 26 12 22 60 .

Теперь рассмотрим случай, когда имеется большое число данных, и среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Как в этом случае строится уравнение прямой линии регрессии?

Ранее, для случая различных значений признаков, нами была получена система из двух уравнений, по которой определялись неизвестные коэффициенты yx , b . Запишем еще раз эту систему:

Теперь запишем эту систему так, чтобы она отражала данные корреляционной таблицы. Для этого используем тождества:

xi n x , следствие из формулы x xi ; n

119

yi n y , следствие из формулы y yi ; n

xi2 n x2 , следствие из формулы x2 xi2 ; n

xi yi nxy xi yi , здесь мы учли, что пара чисел (x, y) наблюдалась nxy раз.

Следует обратить внимание, что в последнем равенстве, в выражении слева суммирование ведется по всем значениям xi , yi , а в выражении справа

сумма только по различным значениям пар.

Подставив правые части тождеств в систему уравнений и сократив обе части второго уравнения на n , получим:

Решив эту систему, найдем неизвестные параметры и искомое уравнение y ρ yx x b .

Однако в этом случае целесообразно ввести новую величину – коэффициент корреляции. Тогда искомое уравнение запишется в ином виде.

Найдем b из второго уравнения системы:

b y yx x .

Подставив правую часть этого равенства в уравнение прямой линии регрессии, получим

120

Умножим обе части равенства на дробь x :

y

yx x nxy xi yi n x y .

y

Обозначим правую часть равенства через rB , и назовем ее выборочным коэффициентом корреляции:

rB yx x

y

или

yx rB y .

x

Подставив правую часть этого равенства в (4.6), получим выборочное

Приведем свойства выборочного коэффициента корреляции, из которых следует, что он служит для оценки тесноты корреляционной зависимости.

1. Абсолютная величина выборочного коэффициента корреляции по модулю не превосходит единицы, т.е.

rB 1.

2. Если выборочный коэффициент корреляции равен нулю и выборочные линии регрессии – прямые, то X и Y не связаны линейной корреляционной зависимостью.