Пособие по мат. стат

101

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

Найдем критическую точку двусторонней критической области:

uкр 1 0,1 0,45 , 2

и по таблице функции Лапласа находим uкр 1,65.

Поскольку uкр 1,65 1 Uнабл , то нулевая гипотеза принимается.

гипотезу о незначительном отличии наблюдаемой относительной частоты от гипотетической вероятности.

Ответ. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

2. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии

принимается конкурирующая гипотеза, т.е. станок не обеспечивает необходимой точности.

Ответ. Нулевая гипотеза отвергается.

3. Торговец утверждает, что он получает заказы в среднем по крайней мере от 30 % предполагаемых клиентов. Можно ли при 5 %-м уровне значимости считать это утверждение верным, если торговец получил заказы от 20 из 100 случайно отобранных потенциальных клиентов?

Решение. В данном случае нулевая гипотеза имеет вид H0 : p p0 0,3 , а конкурирующая гипотеза H1 : p 0,3.

Найдем значение статистики критерия, учитывая, что относительная частота равна w 20100 0,2 :

Uнабл uкр , нулевая гипотеза отвергается, и с утверждением торговца мы

не соглашаемся.

4. Исследование длительности оборотных средств двух групп предприятий (по 13 предприятий в каждой) дало следующие результаты:

x 23 дня, y 26 дней, σ2x 3 дня, σ2y 6 дней. Можно ли считать, что

отклонения в длительности оборота оборотных средств групп предприятий одинаковы для уровня значимости 0,1?

Решение. В этой задаче надо проверить нулевую гипотезу H0 :σ2x σ2y о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе H1 :σ2x σ2y . Используем критерий Фишера со

степенями свободы k1 k2 13 1 12 и вычислим наблюдаемое значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей)

103

числам степеней свободы k1 k2 12 находим критическую точку

Fкр F0,05;12;12 2,69.

Так как Fнабл 2 2,69 Fкр , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве отклонений в длительности оборота оборотных средств двух групп предприятий.

Ответ. Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

5. Школьникам давались обычные арифметические задачи, а потом одной случайно выбранной половине учащихся сообщалось, что они не выдержали испытания, а остальным – обратное. Затем у каждого из них спрашивали, сколько секунд ему потребуется для решения новой задачи. Экспериментатор, вычисляя разность между определенным временем решения задачи, которое называл школьник, и результатами ранее выполненного задания, получил следующие данные:

Проверьте на уровне значимости 0,01 гипотезу о том, что дисперсия совокупности детских оценок, имеющих отношение к оценке их возможностей, не зависит от того, что сообщалось детям о плохих результатах испытаний или об удачном решении первой задачи.

Fкр F0,01;11;12 4,22 .

Получили, что Fнабл 4,99 4,22 Fкр и нулевая гипотеза на уровне

значимости 0,01 отвергается.

Ответ. Нулевая гипотеза отвергается.

104

6. По выборке объема n 30 найден средний вес изготовленных на первом станке изделий, равный 130 г; по выборке объемом m 40 найден средний вес изготовленных на втором станке изделий, равный 125 г.

величины распределены нормально и выборки независимы.

Решение. Нулевая и конкурирующая гипотезы даны в условии задачи, поэтому сразу вычислим значение статистики критерия:

По таблице функции Лапласа найдем критическую точку из равенстваuкр 1 α 2 0,475, в результате получаем uкр 1,96 .

Поскольку U uкр , гипотеза H0 отвергается.

Ответ. Нельзя утверждать, что средние значения веса изделий двух станков совпадают.

7. Реклама утверждает, что из двух типов пластиковых карточек «Русский экспресс» и «Super Card» богатые люди предпочитают первый. С целью проверки этого утверждения были обследованы ежемесячные платежи n 16 обладателей «Русского Экспресса» и m 11 обладателей «Super Card». Выяснилось, что платежи по карточкам «Русский Экспресс» составляют в среднем 563 ден. ед. с исправленным средним квадратическим отклонением 178 ден. ед., а по карточкам «Super Card» – в среднем 485 ден. ед. с исправленным средним квадратическим отклонением 196 ден. ед.

Предварительный анализ законов распределения ежемесячных расходов как среди обладателей «Русского Экспресса» так и среди обладателей «Super Card» показал, что они достаточно хорошо описываются нормальным распределением.

Проверить утверждение рекламы на уровне значимости α 10 %.

Решение. В данном случае речь идет о проверке гипотезы о средних при неизвестных дисперсиях. Поэтому сначала необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсий, а лишь затем двигаться дальше. Имеем

1,21 2,55 , принимаем гипотезу о равенстве дисперсий двух выборок. Теперь мы можем воспользоваться критерием Стьюдента для проверки

гипотезы о равенстве средних. Имеем

основная гипотеза (о равенстве средних).

Ответ. Утверждение рекламы не подтверждается имеющимися данными.

8. В партии из 500 деталей, изготовленных первым станком-автоматом, оказалось 60 нестандартных, а из 600 деталей второго станка – 42 нестандартных. На уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу

откуда uкр 2,57 . Поскольку U uкр , нулевая гипотеза отвергается.

106

Ответ. Вероятности изготовления нестандартных деталей на двух станках различны.

9. В таблице приведены сгруппированные данные о коэффициентах соотношения заемных и собственных средств на 100 малых предприятиях.

На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что коэффициенты можно описать нормальным распределением.

Решение. Необходимо проверить гипотезу о нормальном распределении, используя критерий согласия. В данном случае параметры распределения не заданы, и их следует оценить по сгруппированным

Следует продолжить крайние интервалы и считать c0 , c8 ,

поскольку нормальное распределение не ограничено с обеих сторон. С учетом полученных значений построим таблицу:

107

коэффициенты хорошо описываются нормальным распределением. Замечание. Здесь можно было объединить крайние интервалы с

соседними. Вычисления показывают, что и в этом случае гипотеза принимается.

Ответ. Гипотеза о нормальном распределении принимается.

Задачи для самостоятельного решения

1. В результате длительного хронометража времени сборки узла различными сборщиками установлено, что дисперсия этого времени 02 2 . Результаты 20 наблюдений за работой новичка таковы ( xi время сборки

Можно ли на уровне значимости 0,05 считать, что дисперсия затрачиваемого новичком времени существенно не отличается от дисперсии времени остальных сборщиков?

2. Независимому статистику поручено проверить информацию маркетинговой службы некоторого туристического бюро о том, что 70 % клиентов выбирают в качестве формы обслуживания полупансион. Статистик провел опрос 150 случайно выбранных туристов, из них

108

полупансион предпочли 84 человека. К какому выводу пришел статистик при проверке гипотезы H0 : p 0,7 при альтернативе H1 : p 0,7 на уровне

значимости критерия 0,05?

3.Статистику необходимо проверить экспертную оценку о том, что 75 % отечественных предприятий уклоняются (частично) от уплаты налогов. По результатам неофициального опроса руководителей предприятий 140 из 200 случайно отобранных директоров подтвердили, что используют различные схемы для ухода от уплаты налогов. Можно ли на уровне значимости 0,05 согласиться с приведенной экспертной оценкой?

4.Фирма разослала 1000 новых рекламных каталогов и получила 120 заказов. Можно ли утверждать (на уровне значимости 5 %), что эффективность рекламы повысилась, если ранее она составляла в среднем

10 %?

5.Средний доход фирмы в день составлял 1020 единиц. После реорганизации выборочный средний доход в день за 30 рабочих дней составил 1070 единиц с исправленным выборочным средним квадратическим отклонением 90 единиц. Можно ли утверждать (на уровне значимости 5 %), что реорганизация привела к увеличению среднего дохода?

6.Инвестор считает вложения в активы с дисперсией доходности более 0,04 слишком рискованными. За последние 10 лет исправленная выборочная дисперсия доходности актива составила 0,06. Следует ли делать вложения в этот актив, принимая решение на уровне значимости 5 %?

7.Рафинированный сахар упаковывается в пакеты с номинальным весом 1 кг со средним квадратическим отклонением, равным 0,01 кг. При 5 %-ном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о том, что средний вес пакета соответствует номиналу.

8.В селе Петрово проведено выборочное обследование доходов жителей. По выборке из 25 человек получено среднее 2380 руб. и среднее квадратическое отклонение 90 руб. Можно ли утверждать на уровне значимости 5 %, что средний доход жителей составляет менее 2500 руб.?

9.Партия изделий принимается, если дисперсия размеров не превышает 0,2. Исправленная выборочная дисперсия для 30 изделий оказалась равной 0,3. Можно ли принять партию на уровне значимости 5 %?

10.Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема 31:

109

11. По выборке объема 16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выборочное среднее x 118, 2 и исправленное среднеквадратическое отклонение s 3,6 . Требуется при уровне значимости

0,05 проверить нулевую гипотезу H0 : a a0 120 при конкурирующей

гипотезе

а) H1 : a 120 ; б) H1 : a 120 .

12. За последние 5 лет выборочная дисперсия доходности актива A составила 0,04, актива B 0,05. Есть ли основание утверждать, что вложения

вактив A менее рискованны, чем в актив B ? Уровень значимости 5 %.

13.По двум независимым извлеченным из нормальных генеральных

б) во втором случае y1 10,4; y2 9,7; y3 10; y4 10,3.

Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости 0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

15. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы, объемы которых n1 10, n2 8 . В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью ( H0 : D( X ) D(Y ) ), если принять уровень значимости 0,1 и в качестве

конкурирующей гипотезы H1 : D(X ) D(Y ) ?

16. Для оценки качества изделий, изготовленных двумя заводами,

вероятностей изготовления бракованного изделия обоими заводами при конкурирующей гипотезе H1 : p1 p2 .

110

17. Из 100 выстрелов по цели каждым из двух орудий зарегистрировано m1 12 и m2 8 промахов соответственно. На уровне значимости 0,05

проверить нулевую гипотезу о равенстве вероятностей промаха обоих орудий при конкурирующей гипотезе H1 : p1 p2 .

18. Аудиторы компании интересуются системой обработки счетов доходов. Они взяли случайную выборку объема n1 50 законченных счетов,

в которой 4 счета оказались дефектными. Тогда аудиторы предложили некоторые модификации в процедуре и через определенное время провели случайную выборку n2 60 завершенных счетов и обнаружили 3 дефектных

счета. Имеется ли основание предполагать на уровне значимости 5 %, что новые процедуры уменьшают ошибку?

19. Производство пшеницы в России в 1995–2002 гг. представлено в таблице:

Можно ли утверждать, что производство пшеницы в 1995–1998 гг. и 1999–2002 гг. было в среднем одинаково (на уровне значимости 10 %)?

20.По выборке объема n 50 найден средний размер диаметра валиков

x20,1 мм, изготовленных автоматом №1; по выборке объема m 50 найден

средний размер диаметра валиков y 19,8 мм, изготовленных автоматом

выборки независимы.

21. По двум независимым, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей выборкам, объемы которых n 10, m 10 соответственно, найдены выборочные средние, равные 14,3 и 12,2 соответственно.