Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный энергетический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТерВер

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

18 163 83 1611 .

Вкаждой клетке таблицы выполняем умножение значений xi и y j ,

полученный результат умножаем на вероятность в клетке, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем

M XY 1 1 161 1 2 163 0 1 161 0 2 163 1 1 81 1 2 83

161 83 34 167 .

Осталось вычислить ковариацию случайных величин, вычисляем по

формуле (4.6)

KX ,Y M X M (X ) Y M (Y ) .

Мы уже вычислили M XY 7 /16 , осталось вычислить M X и M Y . Используя полученные выше частные законы распределения,

получаем

M X 1 14 0 14 1 12 14 , M Y 1 14 2 34 74 ,

и значит,

K X ,Y M XY M X M Y 167 14 74 0 .

Теперь мы можем ответить на вопрос, зависимы величины или нет. Так как ковариация получилась равной нулю, то случайные величины X и Y независимы.

2. Задана функция распределения двумерной случайной величины

	sin y, при 0		x			, 0 y		,
sin x	sin y, при 0		x			, 0 y		,
F x, y					2		2
			0.
0 при x 0 или y			0.
Найти вероятность попадания	случайной		точки			X ,Y	в прямоугольник,
ограниченный прямыми x 0, x ,		y ,	y	.
	4	6		3

Решение. Чтобы найти вероятность попадания случайной точки в

прямоугольник 0 X								,		Y				, используем формулу (4.4).
							4		6				3
Положив x					0, x					, y				, y					, получим
				1		2			4	1			6			2		3
									4				6					3
										0 X								Y
								P		0 X				4		,	6	Y			3
														4			6				3

			F			,			F		0,		3				F			,		F 0,		6
					4 3								3						4 6					6

																									6	2
sin		sin		sin 0		sin					sin				sin				sin 0 sin								0,26.
sin		sin		sin 0		sin					sin				sin				sin 0 sin								0,26.
	4		3						3					4				6					6		4	4
3. Задана функция распределения двумерной случайной величины
										x			y					x y			при x 0, y				0,
			F x, y				1			3		3				3					при x 0, y				0,
			F x, y
							0 при x 0, y 0.

Найти двумерную плотность вероятности системы. Решение. Используем формулу (4.2)

			f (x, y)			2F (x, y)
			f (x, y)			x y
						x y
Найдем частные производные:
F	3 x ln3 1 3 x y ln3 1 ln3 3 x 3 x y ,
x
		2F	ln 3 3 x y ln 3 1 ln2 3 3 x y.
			ln 3 3 x y ln 3 1 ln2 3 3 x y.
		x y
Таким образом, искомая двумерная плотность вероятности
				2	x y		при x 0, y 0,
			ln		3 3		при x 0, y 0,
		f x, y

0 при x 0 или y 0.

4. Задана двумерная плотность вероятности системы случайных
величин X ,Y
f x, y	20	.

	2 16 x2 25 y2

Найти функцию распределения системы.

Решение. Для отыскания функции распределения будем использовать свойство 2 плотности вероятности

F (x, y)

f (x, y)dxdy

dxdy

2 16 x2 25 y2

25 y

16 x

Вычислим отдельно несобственные интегралы

lim

arctg

lim

arctg

arctgb

25 y2

5 b

arctg

Аналогично вычисляем второй несобственный интеграл, получим

arctg

16 x2

4 2

Итак, функция распределения имеет вид

F x, y

arctg

. arctg

5 2

4 2

круге

x2 y2 R2

двумерная

плотность

вероятности

f x, y C R

					f x, y 0 . Найти: а) постоянную C ;
x	2	y	2
x		y		; вне круга

б) вероятность попадания случайной точки X , Y в круг радиуса r 1 с

центром в начале координат, если R 2 .

Решение. а) Используем свойство 3 плотности вероятности


				2		2
f (x, y)dxdy C				2	y	2
f (x, y)dxdy C		R	x		y		dxdy 1.
	x2 y2 R2

Вычислим двойной интеграл в полярных координатах:

														2					R																		r2		r3			R		R3
																																										R

								2		2
								2		2
						R	x		y		dxdy				d			R r rdr 2 R																												.
						R	x		y		dxdy				d			R r rdr 2 R																			2		3					3		.
	2		2		2																																2		3					3
x	2	y	2	R	2										0			0
x		y		R											0			0																							0
																																									0
											R3															C						3
		Таким образом, C										1, следовательно																								.
		Таким образом, C									3	1, следовательно																				R3				.
											3																					R3
		б) По условию, R 2 , следовательно,																				C				3				и
		б) По условию, R 2 , следовательно,																				C			8					и
																									8
											f x, y				3
															3					x			2	y			2
																		2											.
																8		2											.
																8
		Вероятность попадания случайной точки X , Y																															в круг радиуса r 1 с
центром в начале координат (область D ) вычисляется по формуле (4.3)
																		3
																		3										2					2
																						2				x				y
																			8
									P X ,Y D																									dxdy.
																					D
		Перейдя к полярным координатам и вычислив интеграл, получим
искомую вероятность
						P X ,Y D						3	2				1	2 r rdr									3											r		3	1		1
													2				1																							3	1
														d																	2				r2										.
												8		d																	2				r2										.
												8															8												3		2
													0				0																								0
													0				0																								0

Задачи для самостоятельного решения

1. Задана дискретная двумерная случайная величина X ,Y :

		X		3								10			12
	Y			3								10			12
	Y
	4		0,17									0,13			0,25

	8		0,10									0,30			0,05

	Найти законы распределения составляющих.															точки X ,Y в
	2. Найти	вероятность				попадания							случайной			точки X ,Y в
прямоугольник,		ограниченный						прямыми						x 1, x 2, y 3, y 5, если
известна функция распределения
				2	x		2		y		2	x y		при x 0, y		0,
			1	2			2				2			при x 0, y		0,
	F x, y					0				или y 0.
			0 при x			0				или y 0.

	3. Задана функция распределения двумерной случайной величины

				1 e4x						1	e2 y			при x 0, y 0,

	F x, y

0 при x 0, y 0.

Найти двумерную плотность вероятности системы величин X , Y .

4. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных

величин:	f x, y	1	sin x y в квадрате 0 x			, 0 y		; вне квадрата
величин:	f x, y		sin x y в квадрате 0 x			, 0 y		; вне квадрата
		2			2		2
f x, y 0 . Найти функцию распределения системы X , Y .							2
5. Задана двумерная плотность вероятности
			f x, y	C

				9 x2 16 y2

системы X , Y двух случайных величин. Найти постоянную C . 6. Задана двумерная плотность вероятности

f x, y C

x2 y2 1 3

системы случайных величин X , Y . Найти постоянную C .

											85
				7. В первом квадранте задана функция распределения системы двух
случайных величин:								F x, y 1 2 x 2 y 2 x y ;						вне первого квадранта
F x, y 0 .							Найти:	а) двумерную плотность					вероятности системы; б)
вероятность попадания случайной точки X ,Y													в треугольник с вершинами
A 1, 3 , B 3, 3 , C 2, 8 .
				Ответы. 1)
						X		3			10		12

						p		0,27			0,43	0,30


						Y		4			5

						p		0,55			0,45

2)		3				; 3)	f x, y 8e4x2 y				при x 0, y 0 ;		f x, y 0 при				x 0 или
2)	128					; 3)	f x, y 8e4x2 y				при x 0, y 0 ;		f x, y 0 при				x 0 или
	128
y 0 ;					4)		F x, y		1	sin x sin y sin x y ;			5)	C	12	;	6) C	2	;
y 0 ;					4)		F x, y			sin x sin y sin x y ;			5)	C		;	6) C		;
								2							2
7)	а)				f x, y ln2 2 2 x y в первом квадранте;								вне квадранта				f x, y 0 ;
б)	5		212 .
б)	3		212 .
	3

Контрольные вопросы

1.Дайте определение многомерной случайной величины.

2.Как задается закон распределения двумерной случайной величины?

3.Как задаются функция распределения и плотность вероятности двумерной случайной величины?

4.Приведите формулу, по которой вычисляется вероятность попадания случайной величины в произвольную область.

5.Как задается корреляционный момент?

6.Дайте определение коэффициента корреляции.

7.Приведите основное свойство коэффициента корреляции.

Глава 5

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Часто на практике мы имеем дело со случайными величинами, распределенными определенным типовым образом, то есть такими, закон распределения которых имеет некоторую стандартную форму. Далее мы будем рассматривать основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин, используемых для построения теоретиковероятностных моделей реальных социально-экономических явлений.

Основные виды дискретных распределений

Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном

испытании. Испытания проводятся до появления первого успеха. Введем случайную величину X , принимающую значения 1, 2, 3, , равную номеру

первого успешного испытания. Тогда вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k , вычисляется по формуле

p P X k p 1 p k 1	pqk 1.	(5.1)
k

В этом случае говорят, что случайная величина Х имеет геометрический закон распределения, обозначают X Gp .

Примером реальной случайной величины, распределенной по геометрическому закону, является число выстрелов, сделанное одним стрелком по мишени до первого попадания.

Ряд распределения случайной величины X, имеющей геометрическое распределение, имеет вид:

X = k	1	2	3		…

pk	p	qp	2	p	…
pk	p		q	p	…

Вероятности pk образуют геометрическую прогрессию p, qp, q2p, q3p, …

По этой причине распределение (5.1) называют геометрическим. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей

геометрическое распределение, равны:

			87
M ( X )	1	,	D( X )	1 p	q
M ( X )	p	,	D( X )	p2	p2
	p			p2	p2

Биномиальный закон распределения.

Вернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний. Возможные значения Х: 0, 1, …, п. Соответствующие им вероятности можно вычислить по формуле Бернулли:

p	k P Х k Ck pk qn k	(5.2)
n	n

( p – вероятность появления события А в каждом испытании).

Такой закон распределения называют биномиальным, поскольку правую часть равенства (5.2) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

p q n Cn pn Cn1pn1q ... Ck pk qn k ... C0qn.
	n	n	n	n
Тот факт, что	случайная величина X		имеет	биномиальный	закон
распределения, обозначают		X Bn, p . Таким образом, биномиальный закон
распределения имеет	два	параметра: n	количество испытаний,		p

вероятность появления события в одном испытании.

Ряд распределения дискретной случайной величины X, имеющий биномиальное распределение, имеет вид:

X = k	0	1		2			. . .	k	. . .	n

pk = Р(X = k)	qn	C1n pqn1		Cn2 p2qn2			. . .	Cnk pk qn k	. . .	pn
Функция распределения случайной величины X, распределенная по
биномиальному закону, имеет вид:
			при x 0,
		0,	при x 0,
					n k		при 0 x n,
	F x Cnk pk 1 p					,	при 0 x n,			(5.3)
		k x
			при x n.
		1,	при x n.

Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений события A в серии из п независимых испытаний, M X можно

найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х1 – число появлений события А в первом испытании, Х2 – во втором и т.д. При этом

каждая из случайных величин Хi		задается рядом распределения вида

	Xi		0		1

	pi		q		p

				n		n
Следовательно, M X1 p . Тогда M X M Xi p np.
				i1		i1

Аналогичным образом вычислим дисперсию:

D Xi 02 q 12 p p2 p p2 p 1 p pq ,

откуда по свойству 4 дисперсии получаем D X D Xi np 1 p npq.

Распределение Пуассона.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целые неотрицательные значения 0, 1, 2,…, т,…, последовательность которых не ограничена. Такая случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой:

P Х т	т	,	(5.4)
	е
	т!

где – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона, обозначается X .

Распределение Пуассона является предельным для биномиального,

когда n и	p 0 так, что np постоянно.
Сумма всех вероятностей равна 1, действительно
			m
	P Х т е		е е 1
	т0	т0	т!

89
		m
(здесь использовано разложение в ряд Тейлора функции ex	x		).

m0 m!

Рассмотрим типичную задачу, приводящую к распределению Пуассона. Пусть на оси абсцисс случайным образом распределяются точки, причем их распределение удовлетворяет следующим условиям:

1)вероятность попадания некоторого количества точек на отрезок длины l зависит только от длины отрезка и не зависит от его расположения на оси (то есть точки распределены с одинаковой средней плотностью);

2)точки распределяются независимо друг от друга (вероятность попадания какого-либо числа точек на данный отрезок не зависит от количества точек, попавший на любой другой отрезок);

3)практическая невозможность совпадения двух или более точек. Тогда случайная величина Х – число точек, попадающих на отрезок

длины l – распределена по закону Пуассона, где а – среднее число точек, приходящееся на отрезок длины l. Так, например, число вызовов на телефонной станции за время t, также подчиняется закону Пуассона.

Случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, имеет следующий ряд распределения:

X = m	0	1	2	. . .	m	. . .

pm	e	e	2 e	. . .	m e	. . .
pm	e	1!	2!	. . .	m!	. . .
		1!	2!		m!

Ранее говорилось о том, что формула Пуассона (5.4) выражает биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события. Поэтому закон Пуассона часто называют законом редких явлений.

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины,

распределенной по закону Пуассона. Если P X m

, то

т!

т1

M X

е е

(т 1)!

т1

т!

т1

Для определения дисперсии найдем вначале

т1

M X 2 т2

е т

е (т 1) 1

(т 1)!

т1

т!

т1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20251.63 Mб2теория.docx
#
10.06.2015689.35 Кб16тепловизионная съемка 22.03.2015.pdf
#
01.07.20255.32 Mб0Тепловизионный отчет КП Орловское.docx
#
01.04.202538.18 Mб6Теплотехническое и электротехн-е обор-е (макет)...doc
#
01.03.2025666.86 Кб2Теполовой расчет подогревателей мазута.doc
#
10.06.20151.82 Mб86ТерВер.pdf
#
10.06.201573.73 Кб22Термодинамика(2курс).doc
#
14.09.201967.07 Кб9Термодинамика.doc
#
10.06.2015179.71 Кб62Тест по маркетингу 100 вопросов для студентов.doc
#
01.05.2025267.51 Кб1Тест8.RTF
#
10.06.20151.14 Mб85Тест_Информатика(заочник).docx