ТерВер

Пример. На отрезок АВ случайным образом брошены три точки: С, D и М. Найти вероятность того, что из отрезков АС, АD и АМ можно построить треугольник.

Решение. Обозначим длины отрезков АС, АD и АМ через x, y и z и рассмотрим в качестве возможных исходов множество точек трехмерного пространства с координатами (х, у, z). Если принять длину отрезка равной 1, то множество всевозможных исходов представляет собой куб с ребром, равным 1. Тогда множество благоприятных исходов состоит из точек, для координат которых выполнены неравенства треугольника: x + y > z, x + z > y, y + z > x. Это есть часть куба, отрезанная от него плоскостями x + y = z, x + z = y, y + z = x.

z

x + y = z

y

x

Рис.1.4

(одна из них, плоскость x + y = z, построена на рис.1.4). Каждая такая

Задача о встрече.

Два лица Х и Y условились встретиться в определенном месте между 15 и 16 часами. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц X и Y, если каждый из них может придти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение.

Будем считать интервал с 15 до 16 часов отрезком [0, 1] длиной в 1 час. Обозначим время прихода лица X через x , а лица Y через y . Так как каждый из лиц X и Y может придти в течение часа, величины x и y это

11

точки отрезка [0, 1] . Все возможные результаты эксперимента – точки

необходимо чтобы время прихода двух лиц отличалось не более, чем на 10

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наугад в квадрат.

Задача Бюффона.

На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a . На плоскость наудачу брошена игла длины 2l 2a . Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Решение.

Сначала определим, что означает «наудачу брошена игла». Во-первых, центр иглы наудачу попадет на отрезок длиной 2a . Во-вторых, угол между прямой и иглой равномерно распределен на отрезке 0, . В-третьих,

величина угла и расстояние от центра иглы до прямой изменяются независимо друг на друга. Обозначим через x 0, a расстояние от середины

иглы до ближайшей прямой, а через 0, – угол между каким-то

направлением прямых и иглой (см. рис. 1.6). Множество возможных положений иглы полностью определяется выбором наудачу точки из прямоугольника 0, 0, a .

12

Игла пересекает ближайшую прямую, если для нее выполняется неравенство x l sin . Площадь области A , точки которой удовлетворяют такому неравенству, равна (см. рис. 1.7):

A l sin d l cos 2l .

0

0

Рис. 1.6

Рис. 1.7

И так как площадь прямоугольника равна a , то искомая вероятность равна

P A A 2l .

a

Согласно классическому определению подсчет вероятности события A сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций, получаемых из элементов заданного конечного множества.

13

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент x) можно выбрать n1 способами и после каждого такого

выбора второй объект (элемент y) можно выбрать n2 способами, то оба объекта (x и y) в указанном порядке можно выбрать n1 n2 способами.

Правило суммы: если некоторый объект x можно выбрать n1 способами, а объект y можно выбрать n2 способами, причем первые и

вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (x или y), можно выбрать n1 n2 способами.

Решение вероятностных задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу m элементов из n различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора m элементов ( 0 m n ) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с

повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все m элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

1. Схема выбора без возвращений.

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов. Размещением из n элементов по m элементов называется любое

упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m элементов. Из определения вытекает, что размещения – это выборки (комбинации), состоящие из m элементов, которые отличаются друг от друга

либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначается

где n! 1 2 3 ... n , 1! = 1, 0! = 1.

Пример. Сколько различных буквосочетаний, состоящих из трех букв, можно составить из букв слова БУРАН?

14

Решение. Число буквосочетаний по 3 буквы из пяти букв слова БУРАН равно числу размещений по 3 из 5, т.е. A53 . По формуле (1.4) найдем

A53 5 4 3 60 .

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов

по n.

Из определения вытекает, что перестановки – это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn и вычисляется по формуле

Пример. Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 5

элементов (книг), т.е. P 5! 1 2 3 4 5 120.

5

Сочетанием из n элементов по m элементов называется любое подмножество, которое содержит m элементов данного множества.

Из определения возникает, что сочетания – это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, т.е. отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по m элементов обозначается символом Cnm и вычисляется по формуле

Отметим свойства сочетаний:

1.Cn0 1;

2.Cnm Cnn m ;

3.Cnm Cnm1 Cnm11 ;

4.Cn0 C1n Cnn 2n ;

5.Anm Pm Cnm .

15

Пример. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было: а) 5 черных; б) 3 белых и 2 черных?

Решение. Так как порядок выбора шаров не имеет значения, то

Поэтому число способов, которыми можно выбрать 3 белых и 2 черных шара определяется по правилу умножения C123 C82 220 28 6160 .

2. Схема выбора с возвращением.

Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то размещения называются размещениями с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех

размещений из n элементов по m с повторениями обозначается символом Anm и вычисляется по формуле

Пример. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры: 2, 5, 7, 8.

Решение. Все пятизначные числа, составленные из цифр 2, 5, 7, 8, отличаются друг от друга либо порядком их следования, либо самими цифрами. Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с

повторениями, т.е. A45 . Таким образом, искомое число пятизначных чисел равно A45 45 1024 .

Если при выборке m элементов из n элементы возвращаются обратно без последующего упорядочения, то говорят, что это сочетания с повторениями.

16

Число всех сочетаний из n элементов по m с повторениями обозначается символом Cnm и вычисляется по формуле

Пример. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?

Решение. Рассматриваемое множество состоит из трех элементов, а выборки имеют объем, равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по 5 в каждом. По формуле (1.8) имеем

Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент – n2 раз, …, k-й элемент nk

Пример. Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный, трехместный и четырехместный номера гостиницы?

Решение. Применим формулу (1.9). Здесь n = 9, n1 2 , n2 3, n3 4.

Примеры решения задач к главе 1

1. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов такого выбора?

Решение: Старостой может быть выбран любой из 30 студентов, заместителем – любой из оставшихся 29, а профоргом – любой из оставшихся 28 студентов, т.е. число способов выбора равно n1 30 , n2 29 ,

Nn1 n2 n3 30 29 28 24360 .

2.Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам.

Сколькими способами они могут распределить работу?

Решение. Первое письмо имеет 2 альтернативы – либо его относит первый почтальон, либо второй. Для второго письма также есть две альтернативы и т.д. Следовательно, в силу правила умножения общее число способов распределения писем равно

N2 2 2 210 1024 .

10раз

3.В расписание одного дня включены 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение. Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и их порядком следования, поэтому, согласно формуле (1.4),

4. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные премии?

Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающуюся от других как составом, так и порядком следования. Поскольку каждый фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям, то одни и те же фильмы могут повторяться. Потому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по 5:

NA105 105 100000 .

5.В условиях задачи 4 определить, сколько вариантов распределения призов существует, если по каждой номинации установлены одинаковые призы?

Решение. Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок фильмов в комбинации 5 призов значения не имеет, и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по 5, определяемое по формуле:

18

6.Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком

следования участников конкурса, т.е. является перестановкой из 7 элементов. Их число равно P7 7! 5040 .

7.Требуется составить расписание отправления поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы: 3 дня отправлялись по 2 поезда в день, 2 дня - по 1 поезду в день, 2 дня - по 3 поезда в день. Сколько можно составить различных расписаний?

Решение. Количество поездов, отправляемых в день (числа 1,2,3), - это три группы одинаковых элементов, из которых должна быть составлена выборка. При этом в расписании на неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется 3 раза и число 3 повторяется 2 раза. Число различных расписаний равно

8. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбраны 3 фрукта. Какова вероятность того, что все три фрукта – апельсины?

Решение. Элементарными исходами здесь являются выборки, включающие 3 фрукта. Так как порядок безразличен, будем считать выборки неупорядоченными (и, разумеется, бесповторными). Общее число

элементарных исходов n | | равно числу сочетаний из 9 по 3, C93 . Число

благоприятных исходов m | A | будет равно числу способов выбора трех апельсинов из имеющихся пяти – иными словами, числу сочетаний трех

элементов из пяти, т.е. C53 . Тогда, согласно формуле (1.1), вероятность равна

9. В коробке содержится 6 одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Решение. Здесь число n всевозможных исходов эксперимента равно

числу перестановок P 1 2 3 4 5 6 720 , и только один исход испытания

6

является благоприятствующим. Поэтому

19

P A 7201 .

10. Шестеро клиентов случайным образом обратились в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратился.

Решение. Рассмотрим обратное событие A , состоящее в том, что в каждую из пяти фирм обратился клиент, тогда в какую-то из них обратились два человека, а в остальные 4 фирмы – по одному клиенту. Таких возможностей

следовательно, P A 1 P A 0,8848.

11. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Пусть событие А = {набраны три нужные цифры}. Можно набрать столько троек различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по три. В соответствии с общей формулой (1.4),

имеем n =А103 = 10 9 8 = 720. Благоприятствует событию А лишь один

исход, поэтому P A 7201 .

12. Игра состоит в том, что игрок бросает монету на поверхность стола, разграфленную на квадраты, стороны которых больше диаметра монеты. Найти вероятность того, что:

а) монета целиком попадает внутрь одного квадрата; б) монета пересечет не более одной стороны квадрата.

Решение. Обозначим сторону квадрата через а, диаметр монеты через 2r (2r а). Тогда пространством элементарных событий будет множество точек квадрата

x, y |0 x, y a ,