ТерВер

110

Глава 6

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Закон больших чисел

Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклонения от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем, называемой законом больших чисел.

Лемма Маркова. Если случайная величина X не принимает отрицательных значений, то для любого положительного числа справедливо неравенство:

P X M X .

Неравенство Чебышева, используемое для доказательства дальнейших теорем, справедливо как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Докажем его для дискретных случайных величин.

Неравенство Чебышева. Для каждой случайной величины X и любого 0 справедливо неравенство:

111

Исключим из этой суммы те слагаемые, для которых X M X .

При этом сумма может только уменьшиться, так как все входящие в нее слагаемые неотрицательны. Для определенности будем считать, что отброшены первые k слагаемых. Тогда

что и требовалось доказать.

Замечание. Из неравенства Чебышева переходом к противоположному событию можно получить неравенство

P X M X 1 D X .

2

Теорема Чебышева устанавливает связь в количественной форме между средней арифметической наблюдаемых значений случайной величины X и ее математическим ожиданием M X a .

Теорема Чебышева (частный случай). При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний «средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию», т.е. для любого положительного

lim P X a 1. n

Рассмотренная выше теорема Чебышева может быть распространена на более сложный случай, а именно, когда мы имеем дело не со средним арифметическим значением одной и той же случайной величины, а со средним арифметическим значением n независимых случайных величин, распределенных неодинаково. И в этом случае, если дисперсия каждой из n

112

случайных величин ограничена сверху одной и той же постоянной величиной, среднее арифметическое значение является устойчивым, и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине.

Теорема Чебышева (общий случай). Если X1, X2,..., Xn – попарно

будет сколь угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико. Иначе говоря, при выполнении этих условий

Используя этот результат, представим неравенство (6.2) в виде:

Поскольку вероятность не может быть больше 1, можно утверждать, что

Теорема доказана.

Следствие. Если X1, X2,..., Xn – попарно независимые случайные

величины с равномерно ограниченными дисперсиями, имеющие одинаковое математическое ожидание, равное а, то для любого сколь угодно малого ε > 0

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин принимает значения, близкие к сумме их математических ожиданий, то есть утрачивает характер случайной величины. Например, если проводится серия измерений какой-либо физической величины, причем:

а) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных, то есть все результаты представляют собой попарно независимые случайные величины;

б) измерения производятся без систематических ошибок (их математические ожидания равны между собой и равны истинному значению измеряемой величины);

в) обеспечена определенная точность измерений, следовательно, дисперсии рассматриваемых случайных величин равномерно ограничены; то при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое

окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины.

В следующей теореме устанавливается связь между относительной частотой события и его вероятностью. Она была доказана Я. Бернулли и положила начало теории вероятностей как науки.

114

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых опытов вероятность p появления события A постоянна, то при достаточно большом

числе испытаний вероятность того, что модуль отклонения относительной частоты появлений A в n опытах от p будет сколь угодно малым, как

угодно близка к 1, т.е.

Доказательство. Введем случайные величины X1, X2,..., Xn , где Xi – число появлений А в i-м опыте. При этом Xi могут принимать только два

значения: 1(с вероятностью р) и 0 (с вероятностью q = 1 – p). Кроме того, рассматриваемые случайные величины попарно независимы и их дисперсии равномерно ограничены (так как D Xi pq , p + q = 1, откуда pq ≤ ¼ ).

Следовательно, к ним можно применить теорему Чебышева при a Mi p :

что и требовалось доказать.

Заметим, что из теоремы Бернулли не следует, что lim m p. Речь

n n

идет лишь о вероятности того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю может стать сколь угодно малой. Разница заключается в следующем: при обычной сходимости, рассматриваемой в математическом анализе, для всех п, начиная с некоторого значения,

неравенство тп р выполняется всегда; в нашем случае могут найтись

такие значения п, при которых это неравенство неверно. Этот вид сходимости называют сходимостью по вероятности.

115

Центральная предельная теорема

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточно большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практических приложений.

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Если X1, X2,..., Xn,... – независимые случайные величины,

имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием

нормальному.

А.М. Ляпунов доказал центральную предельную теорему для условий более общего вида:

Центральная предельная теорема Ляпунова. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, для которых выполнено условие:

где bk – третий абсолютный центральный момент величины X k , а Dk – ее

дисперсия, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Условие Ляпунова означает, что влияние каждого слагаемого на сумму ничтожно мало. Если какие либо из слагаемых X k оказывают

преобладающее влияние на величину X , то условие Ляпунова не выполняется и утверждать о нормальном распределении X нельзя.

Практически можно использовать центральную предельную теорему при достаточно небольшом количестве слагаемых, так как вероятностные расчеты требуют сравнительно малой точности. Опыт показывает, что для суммы даже десяти и менее слагаемых закон их распределения можно заменить нормальным. При этом очень ценным является то, что законы

116

распределения суммируемых случайных величин могут быть любыми, заранее неизвестными исследователю.

Теорема Ляпунова имеет важное практическое значение, поскольку многие случайные величины можно рассматривать как сумму отдельных независимых слагаемых. Например, ошибки различных измерений, распределение числа продаж некоторого товара, валютные курсы могут рассматриваться как сумма большого числа слагаемых и потому приближенно иметь нормальный закон распределения.

Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин является теорема Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то справедливо соотношение:

где Y – число появлений события А в п опытах, q = 1 – p.

теорему) можно считать распределенной по нормальному закону и нормированной, следовательно, вероятность ее попадания в интервал (α, β) можно найти по формуле

P Z F F ,

т.к. mz 0, z 1.

Поскольку Y имеет биномиальное распределение, то

получим равенство (6.5).

В частности равенство (6.5) можно переписать следующим образом:

118

б) Воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа (6.7). Найдем

x 45 50 1, тогда 5

p100 (45) 15 ( 1) 15 (1) 15 0, 2420 0,0484.

2. Сумма всех вкладов в некотором сбербанке составляет 20000000 руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад меньше 100000 руб.,

n 900 независимых испытаний. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что событие повторится число раз, заключенное в пределах от 240 до 300.

Решение. По условию задачи, дано: n 900, M X np 900 0,3 270, D X npq 900 0,3 0,7 189. Чтобы применить неравенство Чебышева,

Таким образом, 270 ;270 240; 300 , значит 30 . Теперь используем замечание к неравенству Чебышева:

произвести независимых опытов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифметическое значение этой случайной величины будет отличаться от ее математического ожидания менее, чем на

0,5.

5. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.

Решение. Для решения задачи будем использовать неравенство Маркова

P X M X .

а) Так как, по неравенству Маркова, P X 200 M X , 200