1

, . (2.104)

Графический метод. Строим зависимости и , складываем ординаты при одинаковых d, находим минимум С (рис. 2.32).

Рис. 2.32. К определению оптимального диаметра трубопровода

Подбор вариантов. Для капельной жидкости приемлемые скорости жидкости в трубопроводах колеблются в пределах w = 0,5÷3 м/с.

Найдем диаметры трубопроводов для скорости 0,5 м/с – и 3 м/с – . Определим и . будем искать в пределах от до . Далее, идя навстречу друг другу, по диаметру найдем и .

По терминологии экономистов полная стоимость варианта трубопроводной сети С – приведенная годовая затрата.

8. Расчет сложных трубопроводов: разветвленный трубопровод, параллельное соединение трубопроводов.

Параллельное соединение трубопроводов. Трубопровод в некоторой точке А разветвляется на несколько труб, которые соединяются в точке В (рис. 2.25). Расход основного трубопровода до деления и после объединения один и тот же.

Рис. 2.25. Схема параллельного соединения трубопроводов

Основная задача для этого случая: определить и потери напора на участке . Поскольку напор в точках А и В общий для всех ветвей, то потери напора для всех ветвей будут одинаковыми и равными .

Запишем потери напора для первой ветви:

Аналогично для других ветвей:

(2.72)

Всего имеем n уравнений (по числу веток трубопровода). Но в этих уравнениях число неизвестных n + 1. Ещё одно уравнение получим, записав постоянство расхода для основного трубопровода и суммарного расхода в зоне ветвей:

. (2.73)

Из системы уравнений (2.72) определим все расходы через :

(2.74)

Решая совместно уравнения (2.73) и (2.74), получим:

откуда расход первой ветви :

(2.75)

Уравнение (2.75) позволяет определить все неизвестные величины. По уравнениям (2.74) находим , а по (2.72) – . Приведенное решение задачи предполагает использование квадратичного закона сопротивлений.

9. Расчет сложных трубопроводов: непрерывная раздача расхода по пути.

Рассмотрим непрерывную раздачу расхода на некотором участке трубопровода AB длиной l (рис. 2.26).

Рис. 2.26. Схема непрерывной раздачи расхода по пути

Основная задача – определение потери давления на этом участке p. Точное решение задачи связано с теорией движения жидкости с переменным расходом (Мещерский, Петров). Здесь предлагается приближенное инженерное решение. Обозначим: – общий расход до раздачи; – транзитный расход после участка раздачи; q – удельный расход единицы длины; – сбросный расход на участке АВ. Тогда имеем:

В сечении n–n на расстоянии х от узла А расход равен:

(2.76)

Запишем уравнение Бернулли для участка длиной dx в дифференциальной форме с учетом потери напора :

Считаем, что dz и по сравнению с остальными членами уравнения незначительны, а потеря напора h определяется по формуле Дарси – Вейсбаха. Тогда для потери давления на участке длиной получим:

(2.77)

Здесь

Тогда получим:

(2.78)

Пределы интегрирования: по давлению от до , длине от до :

(2.79)

Проводя интегрирование и имея в виду, что , , получим:

или (2.80)

В частном случае, если получим:

(2.81)

Эта формула показывает, что в случае полной непрерывной раздачи расхода из трубопровода потеря давления в три раза меньше того, который имел бы место при отсутствии раздачи, т.е. при полном транзите. По полученной зависимости определяем или p, или .

Кольцевой трубопровод. Схемы кольцевых трубопроводов представлены на рис. 2.27. Основной расчетной задачей является определение необходимого напора Н в условиях, когда заданы расходы в точках отбора расположение трубопроводов длины отдельных участков и диаметры всех труб.

а) б)

Рис. 2.27. Схемы кольцевых трубопроводов:

а – с двумя узловыми точками; б – общий случай

Рассмотрим простейший случай а – с двумя узловыми точками расхода и . Трудность заключается в том, что на участке 1–2 неизвестно направление движения жидкости.

Если , то ,

, точка схода 2.

Если, то ,

, точка схода 1.

В любом случае потери напора от точки А до точки схода одинаковы по обоим направлениям:

(2.82)

Уточняем направление на участке 1–2. Для этого воспользуемся уравнением Дарси – Вейсбаха.

Предположим, что местные гидравлические сопротивления незначительны. Тогда имеем:

Здесь – площадь живого сечения трубопровода.

Если , то от , точка схода 1.

Если , то от , точка схода 2.

Пусть точка схода 2. Тогда можно записать:

или (2.83)

Здесь , . По уравнению (2.83) определяем значение .

Далее запишем уравнение Бернулли для сечения 0–0 и точки схода 2:

(2.84)

Здесь , – определяется по полному расходу для всей системы, – по .

Для общего случая б алгоритм расчета такой же. Где-то надо разорвать кольцо, предположим в сечение х–х, и необходимо проверить потери напора:

. (2.85)

Остальное по аналогии с а.

Разветвленная сеть трубопроводов (рис. 2.28). Предположим, что известны необходимые расходы в точках 1, 2,…, n и их местоположение в пространстве , а также свободный напор в точках потребления . Свободный напор в точках потребления обеспечивает работу какого-либо технологического аппарата, т.е. обеспечивает потери напора в аппарате.

Необходимо найти потребный напор Н, обеспечивающий работу всей системы. Начнем с определения магистральной линии. За магистральную линию обычно принимают самую длинную линию, включающую наибольшие сопротивления и пропускающую наибольшее количество жидкости.

Потребный напор сети определяется как полная потеря напора по всей магистральной линии, складывающаяся как сумма потерь напора на участках этой линии, разности начала и конца магистральной линии и свободного напора в конце магистральной линии.

Рис. 2.28. Схема разветвления трубопровода

Предположим, что магистральная линия 0 – А – В – С – D – n. Запишем уравнение Бернулли для сечений 0 и n:

(2.86)

Будем считать, что на отдельных участках 0А, АВ и т.д. трубопроводы постоянного диаметра, коэффициент гидравлического сопротивления  учитывает и местные потери напора.

Рассмотрим участок 0А.

Расход

Принимая скорость в пределах , задаемся d и определяем значение .

По формуле Дарси – Вейсбаха находим :

(2.87)

Аналогично определяем потери напора на отдельных участках. Таким образом, по формуле (2.86) находим потребный напор для системы Н.

Определяем напор в точках ответвления.

Точка А: . Находим H_A.

Точка В: . Находим H_B и т.д.

Для остальных точек ответвления аналогичны.

Рассмотрим ответвление, например А1.

Для начала и конца ответвления запишем уравнение Бернулли:

(2.88)

Из формулы (2.88) находим и далее определяем необходимый диаметр трубы на ответвлении А1. Остальные участки анализируются аналогично.

Для разветвленных трубопроводов возможны и другие задачи.

10. Кондуктивный теплообмен в плоской стенке

Рассмотрим теплообмен в неподвижной плоской стенке из однородного материала, теплофизические свойства которого постоянны (с_p, ,  = const) (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Распределение температуры в плоской стенке

Общее уравнение нестационарной теплопроводности Фурье имеет вид

(1)

Процесс теплообмена стационарный, тогда . Считаем, что высота и длина гораздо больше толщины стенки , следовательно, теплообмен по этим направлениям отсутствует, тогда температура изменяется лишь вдоль одной координаты х, отсюда имеем

Поскольку , имеем

(2)

Очевидным решением этого уравнения является

,

откуда

(3)

Граничные условия:

при ;

при

Находим и ,, тогда

. (4)

Распределение T по толщине 

. (5)

Из полученного уравнения (5) видно, что в плоской стенке распределение Т является прямолинейным.

Поток тепла за счет теплопроводности определяется по закону Фурье

; (6)

. (7)

Здесь характеризует тепловую проводимость стенки, а – термическое сопротивление стенки.

Для многослойной стенки термическое сопротивление отдельных стенок необходимо суммировать

. (8)

Определим количество теплоты, передаваемое за время t через площадь F

, (9)

тогда расход тепла определяется как

. (10)

Здесь F – поверхность пластины; t – время.

Однако, приведенные расчетные формулы не всегда достаточны для практического использования. Как, например, учесть термическое сопротивление стенки при теплопередаче? Большей частью бывает, что температуры поверхностей Т₁ и Т₂ заранее неизвестны, но зато определены температуры Т_ср1 и Т_ср2 обеих сред, омывающих стенку, и, кроме того, соответствующие коэффициенты теплоотдачи ₁ и ₂. Тогда для случая теплопередачи расход тепла запишется

.

11. Кондуктивный теплообмен в цилиндрической стенке

Исходное уравнение в цилиндрической системе координат r, , z имеет вид

. (11)

Считаем, что процесс теплообмена стационарный и длина цилиндра достаточно велика для того, чтобы пренебречь потоком тепла к его торцам вдоль оси z, процесс осесимметричный. При этих условиях температура является функцией только одной координаты – радиуса r (рис. 1.2):

;

или

. (12)

Рис. 1.2. Распределение температуры в цилиндрической стенке

Написав уравнение (12) в виде

и разделив переменные, получим

Выполняя интегрирование, находим

.

Положив, что С = lnC₁, где C₁ – некоторая новая постоянная, получим

.

Вторичное интегрирование дает

;

T = C₁lnr + C₂. (13)

Постоянные интегрирования находим из граничных условий:

при ; ;

при ; .

Отсюда

; C₂ = T₁  C₁ lnR₁.

Окончательно

. (14)

Как видно из уравнения (14) имеет место логарифмический закон распределения температуры по радиусу цилиндра.

Градиент температуры на внутренней поверхности цилиндра равен

.

В правой части уравнения для любого r в знаменателе вместо R₁ необходимо брать r.

Поток тепла за счет теплопроводности определяется как

. (15)

Как видно из уравнения (15) тепловой поток зависит от координаты r и уменьшается с возрастанием r.

Количество теплоты находим как

. (16)

Здесь F = 2rL – внутренняя поверхность цилиндра, t – время, L – высота цилиндра.

Расход тепла определяется как

. (17)

Если труба многослойная и состоит из n слоев, тогда для потока тепла получим

. (18)

Здесь ∆T = T₁ – T_n – общая разница температуры.

Зависимость q_м и F от радиуса r не позволяет использовать традиционную форму уравнения теплопередачи для цилиндрической стенки. В этом случае используется коэффициент теплопередачи отнесенный к единице длины

, .

Здесь – температуры в ядре фаз, омывающих цилиндрическую поверхность.

Для тонкостенных цилиндров, к которым можно отнести большинство труб, без большой ошибки можно использовать зависимости для плоской стенки.

12. Конвективный теплообмен

При конвекции перенос теплоты происходит макрообъемными частицами потока теплоносителя. Конвекция всегда сопровождается теплопроводностью. Как известно, теплопроводность – явление молекулярное, конвекция – явление макроскопическое, при котором в переносе теплоты участвуют целые слои теплоносителя с разными температурами. Конвекцией теплота переносится намного быстрее, чем теплопроводностью. Конвекция у поверхности стенки аппарата затухает.

Конвективный перенос теплоты описывается уравнением Фурье-Кирхгофа. Закономерности течения среды описываются уравнениями Навье-Стокса (ламинарный режим) и Рейнольдса (турбулентный режим), а также уравнением неразрывности. Исследование закономерностей конвективного теплообмена можно провести в изотермической и неизотермической постановке.

В изотермической постановке сначала решаются уравнения Навье-Стокса и неразрывности, затем полученные значения скоростей используются для решения уравнения Фурье-Кирхгофа. Полученные таким способом значения коэффициентов теплоотдачи впоследствии уточняются, корректируются.

В неизотермической постановке уравнения Навье-Стокса, неразрывности и Фурье-Кирхгофа решаются совместно, с учетом зависимости теплофизических свойств среды от температуры. Как показывают экспериментальные данные, зависимости с_р (Т), (Т) и (Т) слабые, а (Т) – очень сильная. Поэтому обычно учитывается только зависимость (Т). Она, эта зависимость, может быть представлена в виде зависимости Аррениуса или, проще, в виде алгебраического уравнения. Таким образом, возникают так называемые сопряженные задачи.

В последнее время разработаны методы решения многих задач теплоотдачи в ламинарных потоках жидкости с учетом зависимости вязкости жидкости от температуры. Для турбулентных течений все сложнее. Однако можно использовать приближенные численные решения с помощью компьютерных технологий.

Для решения этих уравнений необходимо установить условия однозначности, которые включают начальные и граничные условия.

Граничные условия теплообмена могут быть заданы различным способом:

граничные условия первого рода – задается распределение температуры стенки:

; (19)

простейший случай, когда Т_cт = const;

граничные условия второго рода – задается распределение теплового потока на стенке

; (20)

граничные условия третьего рода – задается распределение температуры среды, окружающей канал и коэффициент теплоотдачи от среды к стенке или наоборот

. (21)

Выбор вида граничного условия зависит от условий работы теплообменного оборудования

Гидродинамический и тепловой пограничные слои на плоской пластине.

Рассмотрим поток, обладающий неизменными теплофизическими характеристиками (, , , c_p = const), совершающий вынужденное движение вдоль плоской полубесконечной тонкой пластины и обменивающейся с ней теплом. Предположим, что неограниченный поток со скоростью и температурой Т набегает на полубесконечную пластину, совпадающую с плоскостью х – z и имеющую температуру Т_ст = const.

Выделим гидродинамический и тепловой пограничные слои с толщиной _г и _т соответственно (область 99  изменение скорости w_x и температуры T). В ядре потока и Т постоянны.

. Ламинарные пограничные слои (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Гидродинамический и тепловой ламинарные пограничные слои

на плоской пластине

Проанализируем уравнения неразрывности и Навье-Стокса. Задача двумерная, поскольку w_z, . По экспериментальным данным известно, что в гидродинамическом пограничном слое . В ядре потока const, поэтому, согласно уравнению Бернулли , в пограничном слое то же самое .

Как известно x >> _г, поэтому

Следовательно, имеем

; (22)

. (23)

Записывать аналогичные уравнения для оси у не имеет смысла, так как w_y может быть найдена из уравнения неразрывности (22). Используя аналогичные процедуры можно упростить и уравнение Фурье-Кирхгофа

. (24)

Система дифференциальных уравнений (22)–(24) составляет изотермическую математическую модель плоского стационарного теплового ламинарного пограничного слоя. Сформулируем граничные условия на границе с пластиной, т.е. при у = 0: при любом х скорость w_x = 0 (условие прилипания). На границе и вне гидродинамического погранслоя, т.е. при у ≥ _г(х), а также при х = 0 для любого у: w_x = . Для поля температуры аналогичные рассуждения.

Итак, граничные условия:

w_x (x, 0) = 0, x > 0; w_x (x, ∞) = ; w_x (0, y) = ; (25)

T (x, 0) = T_ст, x > 0; T (x, ∞) = ; T (0, y) = . (26)

Точное решение этой задачи в виде бесконечных рядов было получено Блазиусом. Имеются более простые приближенные решения: метод интегральных соотношений (Юдаев) и теорема импульсов (Шлихтинг). А.И. Разиновым задача была решена методом сопряженного физического и математического моделирования. Были получены профили скоростей w_x (x, y), w_y (x, y) и температур Т, а также толщины пограничных слоев _г(x) и _т (х)

; (27)

, Pr ≥ 1; (28)

Pr = ν/a.

Коэффициент А в формуле (27) у Разинова – 5,83; Юдаева – 4,64; Блаузиуса – 4; Шлихтинга – 5,0. Примерный вид найденных зависимостей приведен на рис. 1.3.

Как известно, для газов Pr ≈ 1, капельных жидкостей Pr > 1.

Полученные результаты позволяют определить коэффициенты импульсо-и теплоотдачи. Локальные значения γ(x) и Nu_г,x

, . (29)

Усредненные значения и по участку длиной l

, , . (30)

Аналогично для теплоотдачи

, ; (31)

, . (32)

В данном случае аналогия тепло- и импульсоотдачи сохраняется (исходные уравнения одинаковы, граничные условия подобны). Критерий, характеризующий гидродинамическую аналогию процесса теплоотдачи имеет вид

_т-г,x = Nu_т,x / Nu_г,x = Pr^1/3. (33)

Если Pr = 1, то _т-г,x = 1, следовательно полная аналогия процессов импульсо- и теплоотдачи.

Из полученных уравнений следует

γ ~ , ; ~ , . (34)