FTF 2 semestr.MARTINOV / 5
.docx
Поток векторного
поля — поверхностный
интеграл первого
рода по поверхности 
.
По определению
где 
—
векторное поле (вектор-функция векторного
аргумента — точки пространства), 
— единичный
вектор положительной нормали к
поверхности (положительное направление
выбирается для ориентируемой поверхности
условно, но одинаково для всех точек —
то есть для дифференцируемой поверхности —
так, чтобы 
было
непрерывно, так как поток через неё
всегда ноль), 
—
элемент поверхности.
Физическая интерпретация
Пусть
движение несжимаемой жидкости единичной
плотности в пространстве задано векторным
полем скорости течения 
.
Тогда объем жидкости, который протечёт
за единицу времени через поверхность 
,
будет равен потоку векторного поля 
через
поверхность 
.
|
Теорема Остроградского-Гаусса |
|
Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле
компоненты которого имеют непрерывные частные производные. Согласно формуле Остроградского-Гаусса,
где через
обозначена дивергенция векторного
поля
В
частном случае, полагая
|
(она
обозначается также символом 
).
Символ 
указывает,
что поверхностный интеграл вычисляется
по замкнутой поверхности.
Формула
Остроградского-Гаусса связывает
поверхностные интегралы второго рода
с соответствующими тройными
интегралами.
Данную формулу можно
записать также в
координатной форме:
,
получаем формулу для вычисления объема
тела G: