FTF 2 semestr.MARTINOV / 32

Ортогональная группа

Ортогональная группа — группа всех линейных преобразований -мерного векторного пространства  над полем , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму  на  (то есть таких линейных преобразований , что  для любого ).

Обозначения и связанные определения

• Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно ) преобразованиями , а также автоморфизмами формы  (точнее, автоморфизмами пространства  относительно формы ).

• Обозначается , ,  и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.

• Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ( плюсов,  минусов) где , обозначается O(,), см. напр.O(1,3).

Свойства

• В случае если характеристика основного поля больше двух, то с  связана невырожденная симметрическая билинейная форма  на , определенная формулой

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства , которые сохраняют , и обозначается через  или (когда ясно о каком поле  и форме  идёт речь) просто через .

• Если  — матрица формы  в неком базисе пространства , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц  с коэффициентами в , что

В частности, если базис таков, что  является суммой квадратов координат (то есть, матрица  единична), то такие матрицы  называются ортогональными.

• Над полем действительных чисел, группа  компактна тогда и только тогда, когда форма  знакоопределена.

Ортогональное преобразование

Ортогональное преобразование — линейное преобразование  евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов  выполняется равенство

где треугольными скобками обозначено скалярное произведение  в пространстве .

Свойства

• Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой.

• Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования  является равенство

где  — сопряжённое, а  — обратное преобразования.

• В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы  является равенство (*), где  — транспонированная, а  — обратная матрицы.

• Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю , а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

• Определитель ортогонального преобразования равен  (собственное ортогональное преобразование) или  (несобственное ортогональное преобразование).

• В произвольном -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.

• Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразование образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).

Размерность два

В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол , и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид

Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид

то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:

Размерность 3

В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.