FTF 2 semestr.MARTINOV / 28

Единичный псевдотензор Леви-Чивиты 

Важным примером псевдотензора является -символ, определяемый соотношениями

(), (),

(). Из формулы () следует, что при собственных преобразованиях (поворотах системы координат)

и -символ ведет себя как тензор ранга 3.

Рассмотрим теперь преобразование с , например, преобразование инверсии, матрица которого имеет вид (). В этом случае правая тройка переходит в левую , при этом

(280)

где  - матрицы (). Но -символ определен в правой системе координат, поэтому  и следовательно (280) можно переписать в виде

(281)

Таким образом, -символ является псевдотензором 3-го ранга.

Определим, например, следующий антисимметричный тензор:

Тензоры со звёздочкой  называются дуальными (или сопряжёнными) к тензору, сворачиваемому с . Найдём компоненты дуального тензора. Расписывая явным образом сумму по повторяющимся индексам и опуская одинаковые индексы, для которых символ Леви-Чевиты равен нулю, получаем:

где , так как обе величины одновременно являются антисимметричными. Во втором случае индекс 0 в символе Леви-Чевиты необходимо перенести в начало . Заметим, что коэффициент 1/2 в определении дуального тензора связан с числом возможных перестановок 2-х индексов . Расписывая таким образом все компоненты, получаем:

Таким образом, векторы  и  в дуальном тензоре по сравнению с исходным меняются местами. Сокращённо таблицы сопряженных тензоров можно записать следующим образом: , .

Полученные выше инварианты можно записать в следующем явно ковариантном виде:

Аналогично можно определить дуальные тензоры к тензорам третьего и первого ранга:

Так, компоненты 4-вектора  являются 4-мя независимыми ненулевыми компонентами тензора .