
FTF 1 semestr.MAVRODI / 11
.pdf
Лемма о вложенных отрезках
Для всякой системы вложенных отрезков
существует хотя бы одна точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы. Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:
то — единственная общая точка всех отрезков данной системы.
Доказательство
1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков
, поскольку
В силу аксиомы непрерывности, существует точка , разделяющая эти два множества, то есть
в частности
Последнее неравенство означает, что — общая точка всех отрезков данной системы.
2) Единственность общей точки. Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное:
пусть имеется две различные точки и
, принадлежащие всем отрезкам системы:
Тогда для всех номеров выполняются неравенства:
В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров
, начиная с некоторого будет выполняться неравенство
Взяв в этом неравенстве , получим
Противоречие. Лемма доказана полностью.