начертательная геометрия

проекцию А02 В02 перпендикулярно оси Х, не изменяя ее размера. Находим горизонтальную проекцию А01 В01 в виде точки.

Б) Плоскость Р, заданную следами, преобразовать во фронтально-

проецирующую (рисунок 14.2).

Рисунок 14.2 – Перемещение следов плоскости

Решение. Необходимо выполнить одно перемещение. Проводим в плоскости Р произвольную горизонталь через точку 1 (11, 12) и перемещаем ее в горизонтальной плоскости так, чтобы она стала фронтально-проецирующей. Для этого задаем на оси Х произвольную точку

101 и проводим через нее проекцию h1 перпендикулярно оси Х, а фронтальная проекция горизонтали сливается в точку 102 (фронтальный след). При таком перемещении размер l не изменяется. Отложив это расстояние, проводим горизонтальный след Р01 параллельно h1, а затем проводим фронтальный след Р02 через точки Р0х и 102.

В) Плоскость общего положения, заданную треугольником АВС,

преобразовать в горизонтальную (рисунок 14.3).

Рисунок 14.3 – Перемещение фигуры

Решение. Необходимо выполнить два перемещения.

1. На первом этапе треугольник АВС преобразуем во фронтально-

проецирующий при помощи горизонтальных плоскостей перемещения. Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь С1 и строим в любом месте эпюра новую горизонтальную проекцию А1, В1, С1 равную А1В1С1, так,

чтобы горизонтальная проекция горизонтали С1l1 стала перпендикулярной плоскости П2. Фронтальные проекции А2, В2, С2 вершин треугольника будут перемещаться по горизонтальным прямым, которые являются следами горизонтальных плоскостей, в которых движутся эти точки. Их новые положения А2, В2, С2 находим в пересечении горизонтальных прямых с вертикальными линиями связи. Новая фронтальная проекция треугольника получается в виде прямой линии.

2.На втором этапе перемещаем треугольник в положение,

параллельное горизонтальной плоскости П1, используя фронтальные плоскости перемещения. Для этого его фронтальную проекцию А2В2С2

располагаем в любом месте горизонтально. Новые горизонтальные проекции А0, В0, С0 вершин треугольника находим в пересечении горизонтальных прямых и вертикальных линий связи. Соединив их, получим натуральную величину треугольника.

Задание 14

Задача 14.1. Определить натуральную величину отрезка АВ и углы наклона его к плоскостям проекций П1 и П2 (данные из таблицы 14.1).

Задача 14.2. Отрезок АВ переместить во фронтально-проецирующее положение (данные из таблицы 14.1).

Таблица 14.1 - Данные к задачам 14.1,14.2

Задача 14.3. Определить угол наклона плоскости Р, заданной следами, к фронтальной плоскости проекций П2 (данные из таблицы 14.2).

Задача 14.4. Определить угол наклона плоскости Р, заданной следами, к горизонтальной плоскости проекций П1 (данные из таблицы

14.2).

Таблица 14.2 – Углы наклона следов P1 и P2 к оси X (в градусах)

горизонтальную плоскость уровня и найти центр описанной окружности.

фронтальную плоскость уровня и найти центр вписанной окружности.

Координаты вершин АВС взять из таблицы 14.3.

Таблица 14.3 - Данные к задачам 14.5 и 14.6

Практическое занятие 15

Способ вращения вокруг проецирующей оси

Теоретическая часть

Сущность этого способа заключается в том, что плоскости проекций остаются неподвижными, а объект вращается вокруг неподвижной оси,

перпендикулярной одной из плоскостей проекций, сохраняя неизменным угол наклона к этой оси. При этом надо помнить, что при вращении объекта каждая его точка описывает окружность в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

На рисунке 15.1 показано вращение точки А вокруг оси i П1 на угол γ по часовой стрелке. Горизонтальная проекция А1 двигается по окружности с радиусом С1А1, как и сама точка А, а фронтальная проекция А2 перемещается по следу Г2 плоскости вращения Г (т. е. параллельно оси Х). Проведя вертикальную линию связи из точки А1 до пересечения со следом Г2, найдем новое положение фронтальной проекции А2. Если же ось вращения будет фронтально-проецирующей, то плоскость вращения точки будет параллельна фронтальной плоскости проекций.

Рисунок 15.1 – Вращение точки

Контрольные вопросы

1.Каково взаимное расположение оси вращения и плоскости вращения?

2.Как определить центр и радиус вращения точки?

3.Перпендикулярно какой плоскости проекций надо выбрать ось вращения, чтобы прямая общего положения стала фронталью?

4.Перпендикулярно какой плоскости проекций надо выбрать ось вращения, чтобы плоскость общего положения стала горизонтально-

проецирующей?

5. Какая проекция объекта не изменяет своих размеров, если ось вращения i П2?

Примеры

А) Прямую L повернуть на угол γ против часовой стрелки вокруг горизонтально-проецирующей оси i (рисунок 15.2).

Рисунок 15.2 – Вращение прямой

Решение. Вращение прямой L вокруг проецирующей оси можно рассматривать как вращение двух точек этой прямой 1 2 на один и тот же угол.

Горизонтальные проекции этих точек 11 и 21 повернуты на угол γ вокруг центра i1, а фронтальные проекции 12 и 22 переместятся по горизонтальным линиям плоскостей вращения в новые положения 12 и 22.

Б) Построить эпюр плоскости (∆ АВС), повернутый вокруг фронтальнопроецирующей оси I по часовой стрелке на угол φ (рисунок

15.3).

Рисунок 15.3 – Вращение плоскости

Решение. При вращении треугольника вокруг заданной оси размер его фронтальной проекции не изменяется, т. е. А2 В2 С2 = Δ`А2`В2`С2. Поэтому достаточно повернуть на угол φ две точки треугольника, а третью построить по трем сторонам. Горизонтальные проекции в новом положении А1, С1, В1

находятся в пересечении горизонтальных и вертикальных линий связи.

Построения значительно упростятся, если ось вращения провести через одну из вершин АВС. Этот вариант показан в следующем примере.

В) Преобразовать плоскость АВС в горизонтальную плоскость уровня

(рисунок 15.4).

Рисунок 15.4 – Вращение треугольника

Решение. Необходимо выполнить два вращения. Сначала плоскость

АВС привести в положение фронтально-проецирующей, а затем в плоскость уровня.

На первом этапе назначаем ось вращения ί (ί1, ί2) через вершину В перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций П1. Проводим в плоскости АВС горизонталь В1 (В212, В111). Вращаем горизонталь вокруг оси на угол φ до положения В111, перпендикулярного фронтальной плоскости проекций П2. Строим новую горизонтальную проекцию треугольника из условия равенства: А1В1С1 = А1В1С1. В пересечении горизонтальных и вертикальных линий связи (смотри стрелки) строим новую фронтальную проекцию треугольника, которая выразится прямой линией С2В2А2. Плоскость треугольника АВС заняла положение фронтально-проецирующей.

На втором этапе назначаем ось вращения t (t1, t2) через вершину А перпендикулярно фронтальной плоскости проекций П2. Вращаем фронтальную проекцию С2В2А2, не изменяя ее размера, до положения А2°В2°С2°, параллельного оси Х. В пересечении горизонтальных и вертикальных линий связи строим новую горизонтальную проекцию треугольника А1°В1°С1°, которая соответствует его натуральной величине

(НВ). Плоскость треугольника АВС заняла положение горизонтальной.

Задание 15

Задача 15.1. Построить эпюр точки А, повернутой вокруг фронтально-

проецирующей оси t по часовой стрелке на угол 600. Положение оси t

выбрать самостоятельно (данные из таблицы 15.1).

Задача 15.2. Прямую АВ преобразовать во фронталь вращением вокруг оси t, проходящей через точку В (данные из таблицы 15.1).

Задача 15.3. Плоскость треугольника АВС преобразовать во фронтальнопроецирующую вращением вокруг оси t, проходящей через вершину С (данные из таблицы 15.1).

Задача 15.4. Плоскость треугольника АВС преобразовать во фронтальную плоскость уровня. Положение осей вращения i и t выбрать самостоятельно (данные из таблицы 15.1).

Таблица 15.1 - Данные к задачам 15.1-15.4

Практическое занятие 16

Способ вращения вокруг горизонтали. Способ вращения вокруг следа плоскости (совмещение)

Теоретическая часть

Оба способа применяются для нахождения натуральной величины отрезка прямой, плоской геометрической фигуры и плоских углов. Кроме того, способ совмещения используется для построения в плоскости общего положения фигуры заданной формы и размеров (подъем фигуры в пространство).

За ось вращения принимается произвольная горизонталь плоской фигуры или один из следов плоскости (нулевая горизонталь или нулевая фронталь). Каждая точка фигуры вращается в своей плоскости,

перпендикулярной к горизонтали, по окружности с центром на оси вращения.

Момент, когда фигура займет горизонтальное положение, определяется по натуральной величине радиуса вращения данной точки (метод прямоугольного треугольника). А при вращении фигуры вокруг горизонтального следа, совмещенное положение фронтального следа на плоскости проекций П1 находится по любой точке этого следа.

Вопросы к занятию

1.По каким линиям перемещаются проекции точки, вращаемой вокруг оси, параллельной плоскости проекций?

2.Как построить совмещенное положение точки заданной плоскости с плоскостью проекций?

3.В чем состоит способ совмещения?

4.Для чего определяется натуральная величина радиуса вращения

точки?

5.Что понимается под термином «подъем в пространство»?

Примеры

А) Вращением вокруг горизонтали установить треугольник АВС в

положение параллельное плоскости проекций П1 (рисунок 16.1).