4.Первый замечательный предел (вывод).

Теорема. (раскрывает неопределенность типа). Доказательство. Возьмем круг единичного радиуса и положим . X – угол выраженный в радианах.

Обозначим площади треугольника ОАВ через– S₁, треугольника ОАС – S₂, площадь сектора ОАВ – через S.

Неравенство (1) получено для однако cos x ифункции четные ,т.к. cos (-x) = cos x.

т.е. (1) справедливо и для т.к., то из (1) на основании теоремы 5 заключаем.

5. Производные элементарных функций (вывод одной из них).

I. Правила дифференцирования	II. Формулы дифференцирования
1.     2.     3.     , :	1.     ;; 2.     3.     ; 4.     ; 5.     ; 6.     ;

 Выведем формулу нахождения производной показательной функции

Придавая аргументу приращение, находим для приращения функцииследующее значение:

(1). Делим на :(2)

Переходим к пределу при :

, но . Поэтому(3). Итак

(4). В частности, (5) (так как).

6. Правила дифференцирования (доказательство одного из них).

1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций.

Убедимся в этом для сум­мы двух функций (для большего числа слагаемых доказательство аналогич­ное).

Пусть ; но тогда. Деля на, имеем.

Отсюда, переходя к пределу при , находим (так как предел сум­мы равен сумме пределов):

или (4.13).

2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е. .Следствие1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:.Следствие2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:.3. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:.

7. Производная по направлению и градиент.

Пусть дана дифференцируемая функция   . Рассмотрим точку, тогда  частные производные иопределяют скорость изменения функции

 в направлении осей соответственно. Пусть луч , исходящий из точки

в направлении единичного вектора. Через   обозначим расстояние от точки   и  :Предел отношения      при , если он существует, называется производной функции в точке   в направлении вектора    и обозначается через  :

Среди всех направлений можно выделить одно, в котором скорость изменения    функции будет наибольшей. Соответствующее направление определяется вектором,который называется градиентом функции  в точке. Градиент функции обозначается одним из символов:греческая буква” набла“).Производная по направлению  в точке  задает скорость изменения функции в точке в направлении.

8. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, вывод его решения.

Если уравнение вида после преобразования может быть записано в виде

,                                   (1)

то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.

Исключим из рассмотрения точки, в которых . Тогда, разделив обе части уравнения на, получим.

Общим интегралом уравнения будет .

Замечания.

1. При проведении почленного деления дифференциального уравнения на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнениеи установить те решения дифференциального уравнения, которые не могут быть получены из общего решения – особые решения.

2.  Уравнение также сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для этого положим. Умножим обе части на dx и разделим переменные.

3. Уравнение , где a,b,c – числа, путем заменысведется к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Дифференцируя по x, получимДанное уравнение примет вид:,или,

.Интегрируя это уравнение и заменяя u на , получим общий интеграл исходного уравнения.