1. Нормальное уравнение плоскости в векторной и координатной формах (вывод).

Положение плоскости в трехмерном пространстве будет вполне определено, если известно ее расстояние P от начала координат O, т.е. длина перпендикуляра ON, опущенного из точки O на плоскость, и единичный вектор , перпендикулярный к плоскости. По условию,. Для любой точки M(x,y,z), лежащей на плоскости, имеем:

С другой стороны, по определению скалярного произведения двух векторов имеем:

или

(1)

Уравнение (1) называется векторным уравнением плоскости. Одновременно уравнение (1) называется нормальным уравнением плоскости.

Пусть теперь единичный вектор образует с осями координат соответственно углы α, β, γ. Тогдаимеет своими координатами направляющие косинусы, т.е.. Далее, вектор. Тогда получим скалярное произведение векторов:

При этом уравнение (1) примет вид:

(2)

Уравнение (1) называется нормальным (нормированным) уравнением плоскости в координатной форме.

Замечание: как и в случае нормального уравнения прямой, в рассматриваемом случае уравнение (2) можно получить, используя теорию проекций.

2.Общее уравнение плоскости Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость не проходит через начало координат, а отсекает от осей координат соответственно отрезки a, b, c. Как видно из рисунка, плоскость проходит через точки M(a,0,0), N(0,b,0) и R(0,0,c). Пусть общее уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0 (1). Подставим в это уравнение координаты точек M, N и R, получим:

(2)

Так как плоскость не проходит через начало координат, то D≠ 0. Так как плоскость отсекает от осей координат ненулевые отрезки, то A≠ 0, B≠ 0, C≠ 0. Тогда из (2) имеем:

Подставив эти значения в уравнение (1), получим:.

Так как D≠0, то все члены последнего равенства можно разделить на (-D). Получим:

или (3)

Уравнение (3) и есть уравнение плоскости в отрезках.

3. Теоремы о пределах (вывод одной из них).

Теорема 1. Для того, чтобы число A было пределом функции f(x) при x®a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представлена в виде: f(x) = A+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция.

Теорема 2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Теорема 3. Если функция ³0 (£0) для любых х в некоторой окрестности точки а, кроме быть может самой точки а, и в точке а имеет предел, то

Теорема 4. Если функции иимеют пределы при x®a, то при x®a имеют пределы их сумма +произведениеи при условии, точастноепричем(1)

(2)

(3)

Доказательство. Ограничимся доказательством формулы (1).

Пусть , тогда по теореме 1:

где

Отсюда

По свойству бесконечно малых (1) α(x) + β(x) – бесконечно малая, следовательно, по теореме (1):

.

Следствие 1. Если функция f(x) имеет предел при x → a, то:

, где n – натуральное число.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

, c = const.

Теорема 5. Если для функций f(x), f1(x) и f2(x) в некоторой окружности точки a выполняется неравенство

, и , то.