Методический пример

1. Задана передаточная функция САУ

.

Определить устойчивость одномерной системы.

1. Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним:

2. Определяем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.

3. На комплексной плоскости определяем расположение полюсов и нулей для заданной передаточной функции, используя команду pzmap (w) рис. 4.

Рисунок 4. – Расположение полюсов и единиц для заданной передаточной

функции

Ввиду того, что корни знаменателя (полюса) находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости, делаем вывод, что исследуемая система является устойчивой.

2. Задана передаточная функция САУ

Определим устойчивость системы без помощи компьютера.

Для этого определим полюса и нули передаточной функции:

Полюса:

Нули:

Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все корни её знаменателя (полюса) были отрицательными. В данном случае мы имеем 1 положительный и 1 отрицательный полюса. Следовательно, наша система неустойчива.

Теперь определим устойчивость системы с помощью MatLab.

1. Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним:

2. Определяем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.

3. На комплексной плоскости определяем расположение полюсов и нулей для заданной передаточной функции, используя команду pzmap (w) рис. 5.

Рисунок 5. – Расположение полюсов и единиц для заданной передаточной функции

Ввиду того, что 1 из 2-х корней знаменателя (полюс) находится в правой полуплоскости комплексной плоскости, делаем вывод, что исследуемая система является неустойчивой.

4. Определим устойчивость системы с использованием критерия Рауса-Гурвица.

Пусть задана одномерная система следующей передаточной функцией

По передаточной функции системы составляем характеристический полином D() =₀ ⁿ + ₁ ^n-1 + … + _n-1  + _n

Для нашей системы ₀ =3, ₁ =2, ₂ =9, ₃ =1. Отсюда

D()=3³ + 2² + 9 + 1

Требование о положительности всех коэффициентов уравнения выполняется. Теперь, для установления устойчивости системы, необходимо проверить требование положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

, ,

Миноры систем определим с помощью MatLab.

То есть ,, .

Таким образом, требование положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров также выполнилось. Следовательно, система является устойчивой.

Определение устойчивости линейных многомерных систем.

Аналогично одномерным системам рассмотрим качественное поведение многомерных систем, описываемых уравнениями сос­тояния.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается линейная многомерная стационарная система, описываемая уравнением состояния:

х(t) = A x(t) + В g(t) , х(0) = х₀ (9)

где х - n-мерный вектор состояния; g — r -мерный вектор входных воздействий; t - время; начальный момент времени t₀ = 0; х₀ - начальное состояние; А, В - матрицы размера (n х n) , (n х г) соответственно.

Система называется асимптотически устойчивой, если ее свободное движение x_c (t) при g(t) = 0 ограничено при ограниченных начальных состояниях x₀ и выполняется условие

(10)

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

1. Для асимптотической устойчивости системы (9) необходимо и доста­точно, чтобы корни _i - характеристического уравнения

det (A - E) = 0 (11)

имели отрицательные действительные части: Re_i < 0, i = 1, ..., n , т.е. располага­лись в левой полуплоскости комплексной плоскости.

2. Для проверки отрицательности действительных частей корней характе­ристического уравнения (11), можно ис­пользовать критерий Рауса-Гурвица.

Необходимое условие устойчивости. Если система (11) асимптотически устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения (11) имеют одинаковые знаки.

Пример 1. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифферен­циальными уравнениями

= x_l +2х₂,

= 4x₁ + 3x₂ + g₁

Здесь A = . Характеристическое уравнение = 0, или

² - 4 - 5 = 0

имеет действительные корни разных знаков: ₁ =5>0, ₂ = -1 < 0. Согласно первому критерию система не является устойчивой.

Пример 2. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифференциальными уравнениями

= x₂

= -x_l -2x₂ +g_l.

Здесь А = . Характеристическое уравнение= 0или

² +  +1 = 0

имеет отрицательный корень (кратности 2): _1,2 = - 1. Соглас­но первому критерию система является устойчивой.

Пример 3. Исследовать устойчивость системы, описываемой дифферен­циальными уравнениями

= -x₂+g₁,

= x₁ + g₂.

Перепишем уравнения системы в матричной форме:

A B

Найдем корни характеристического уравнения. Получим

= 0  ² + 1 = 0

Отсюда ₁ =i, ₂=-i. Действительная часть корней равна нулю. Согласно первому критерию система не является устойчивой.

Пример 4. При каких положительных значениях параметра а, система, описываемая дифференциальными уравнениями

= - ax_l + g₁,

= (a-2)x₃+g_l+g₂,

= - x₂ – 2a x₃ – g₂

будет устойчивой?

Составляем характеристическое уравнение:

det (A - E) = = - ( + а)(² + 2а + а – 2) =

= -³ – 3а² + (- 2а² – а + 2) - а² + 2а = 0.

Его корни: ₁ = -а, ₂ = - a - , ₃ = - а + действительные.

При а > 0 корни ₁ и ₂ отрицательны. Из неравенства ₃ < 0 находим, что а > 2 . Следовательно, рассматриваемая система устойчива при а > 2 .

Проверим этот вывод при а = 3 , используя критерий Рауса-Гурвица. Характеристическое уравнение имеет вид - ³ - 9² -19 - 3 = 0. Умножая его на (-1), получаем коэффициенты: а₃=1, а₂=9, а₁ = 19, а₀ = 3. Составляем матрицу: Затем вычисляем ее угловые миноры: ∆₁ = 9 > 0, ∆₂ = 168 > 0, ∆₃ = 504 > 0. Согласно второму критерию система устойчива.

Проверим результат при а = 1 . Характеристическое уравнение имеет вид -³ - 3² -  + 1 = 0. Так как коэффициенты этого уравнения имеют разные зна­ки, то согласно необходимому условию система не является устойчивой.

Отсюда 0 < k < . Кроме того, порядок (m = 0) правой части уравнения меньше порядка (n = 4) левой части. Согласно второму и третьему критериям система устойчива при 0 < k < .