Курсовая работа

III. Использование программы «MathCad» для расч¸ та дисперсионных характеристик регулярных линиий передачи

Рассмотрим реализацию алгоритма расч¸ та дисперсионных характеристик прямоугольного двухслойного волновода в программе «MathCad» на примере LE-волн структуры, показанной на рис.1. LE-волны описываются нормированным дисперсионным уравнением (5.3).

На первом этапе определим частоты отсечек волн LEmn (индекс m предполагается заданным). Частоты отсечек V определяются численно пут¸ м решения уравнения:

которое получается из (5.3) при Γ = 0 . В результате решения

(1) определяются корни V, которые соответствуют нормированным частотам отсечек.

В первом блоке программы производится ввод значений:

Затем зада¸ тся функция, равная левой части уравнения (1):

Теперь необходимо определить все интервалы по координате V, на концах которых функция f имеет различные знаки. Для этого изменяя значения V с некоторым шагом h и вычисляя в каждой точке значение функции, при условии, что в двух соседних точках функция имеет различные знаки, записываем в массив значение середины интервала. Эти действия выполняет функция SignChange:

SignChange := i ← 0

c ¬ V _ min x ¬ c + h

while x < V _ max v ¬ f(c)

w ¬ f(x)

Pi ¬ c +2 x i ¬ i + 1

c ¬ x

x ¬ x + h

P

где V_min и V_max — интервал по переменной V.

Кроме того, нам необходимо написать функцию, которая будет подсчитывать число таких интервалов:

NCount := i ← 0

c ¬ V _ min x ¬ c + h

while x < V _ max v ¬ f(c)

w ¬ f(x)

i ¬ i + 1 if v × w < 0 c ¬ x

x ¬ x + h

i

Теперь на каждом из найденных интервалов определяем корни уравнения (1):

FRoot := for j 0 . . NCount − 1 K ¬ SignChangej

Rj ¬ root(f(K),K)

R

В результате в массив FRoot будут записаны все нормиро-

Заметим, что для использования привед¸ нных выше функций необходимо в начале программы задать границы интервала поиска корней V _ min и V _ max , а также шаг по параметру h. Функция root(f(x),x) является стандартной и позволяет определять корни трансцендентных уравнений методом секущих. Программа MathCad позволяет пользователю самому написать функцию, реализующую любой другой метод нахождения корней (например, метод бисекции или хорд).

На втором этапе численно решается нормированное дисперсионное уравнение:

Из решения уравнения (2) определяются корни Г при фиксированной нормированной частоте V.

В начале блока производим ввод значений:

Здесь V1 — нормированная частота отсечки волны LE01 (элемент массива FRoot0 , равный первому корню уравнения (1)).

После этого зада¸ тся функцию, равную левой части дисперсионного уравнения:

Обратим внимание, что условием распространения электромагнитной волны в волноводе является условие:

В противном случае подкоренное выражение оказывается отрицательным, а волна становится затухающей.

Для нахождения корней уравнения (2) необходимо сначала определить интервалы, на концах которых функция изменяет знак. Для этого можно воспользоваться функцией SignChange, а число таких интервалов определить при помощи NCount. Толь-

ко в этом случае вместо параметра V _ min необходимо использовать нуль, а параметр V _ max заменить на G* из формулы (3).

В результате массив SignChange будет содержать середины интервалов, на концах которых функция меняет знак. Затем на каждом из найденных интервалов определются корни:

DRoot : = for j 0 . . NCount − 1 K ¬ SignChangej

Rj ¬ root(f(K),K)

R

В результате в массиве DRoot будут сохранены корни уравнения (2), например:

DRoot = 0.034

Из этого следует, что на выбранной частоте V может распространяться только одна волна LE01 . Первая точка дисперсионной кривой: V = V1 + 0.01; Γ = 0.034.

Затем необходимо численно решить уравнение (2) для другой частоты, например, V = V1 + 0.1 и т.д. Заметим, что при V > V2 ( V2 — нормированная частота отсечки волны или элемент массива FRoot1 ) при решении уравнения (2) массив DRoot будет содержать уже два элемента, например:

Первый корень относится к волне LE02 , которая возникла только с частоты отсечки V2 ; а второй корень — к волне LE01 . Большее значение корня всегда соответствует волне с меньшим вторым индексом n.

Продолжая процесс численного решения уравнения (2) при различных значениях нормированной частоты V, получаем набор дисперсионных кривых, соответствующих различным собственным волнам частично-заполненного волновода.

На рис. 4 привед¸ н способ построения дисперсионных кривых по известным точкам ( V,G) .

В курсовой работе необходимо изменять значения нормированной частоты V от V1 до частоты отсечки V4 , соответствующей началу распространения четв¸ ртой низшей LE или LM-волне.

Рис. 4. Построение дисперсионной кривой

Список использованной литературы

1.Бочкар¸ ва Т.С., Неганов В.А., Осипов О.В., Соболев В.А. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов / Под ред. Неганова В.А. — М: Радио и связь, 2003. — 324 с.

2.Егоров Ю.В. Частично заполненые прямоугольные волноводы. — М.: Советское радио, 1967. — 216 с.

3.Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика. Т.2 / Под ред. В.А. Неганова и С.Б. Раевского — М.: Радио и связь, 2001. — 575 с.

4.Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 544 с.

Приложение. Пример выполнения работы.

А. Расч¸ т дисперсионных характеристик.

Рассмотрим пример расч¸ та дисперсионных характеристик LE-волн для прямоугольного двухслойного волновода, показанно на рис. 3.

Расч¸ т производился при следующих параметрах:

Привед¸ м значения нормированных частот отсечек первых пяти мод c индексом m = 0:

Привед¸ м значения рассчитанных параметров Г (расч¸ т корней уравнения (5.3) при m = 0):

Провед¸ м теперь расч¸ т дисперсионных характеристик при m = 1 при тех же параметрах задачи:

Привед¸ м значения нормированных частот отсечек первых пяти мод c индексом m = 1:

Привед¸ м значения рассчитанных параметров Г (расч¸ т корней уравнения (5.3) при m = 1):

Жирным шрифтом выделены значения нормированных частот отсечек V.