Одиночный прямоугольный импульс.

Пусть дан прямоугольный импульс с амплитудой А и длительностью t . На оси времени он задан положением середины импульса t₀ (рис.3.11).

Рис. 3.11

Тогда аналитически сигнал можно описать следующим образом.

Определим выражение для спектральной плотности.

Если это выражение разделить на Т и подставить вместо w частоту nw ₁ , то получим уже известное выражение для АЧС последовательности прямоугольных импульсов:

Нули модуля спектральной плотности расположены на частотах w =2p k/t , где k=± 1,± 2,... На частоте w =0 спектральная плотность равна S( 0 )=At .

На рис.3.12изображены графики АЧХ и ФЧХ прямоугольного импульса с учетом знака синуса.

Рис.3.12

Полная энергия импульса равна

Энергия сигнала, ограниченного первым лепестком спектральной плотности, составляет 90% мощности прямоугольного импульса.

Экспоненциальный импульс.

Определим спектральную плотность экспоненциального импульса вида

изображенного на рис.3.13.

а)                                                   б)

Рис.3.13

В этом случае

Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рис.5,б. На частоте w =0 S(0)=A/a ; при w <<a ; при w >> a ; на частоте w = a . Таким образом, спектральная плотность экспоненциального импульса не имеет нулей и плавно уменьшается с увеличением частоты.

Гауссов импульс. Колоколообразный (гауссовский) импульс определяется выражением

Во временной области он изображен на рис. 14 а. Условно длительность такого импульса определяют по уровню е^{-1/ 2} от амплитуды.

Спектральная плотность определяется через интеграл Фурье:

После замены переменных: где ,

интеграл приводится к виду , причем

Окончательно получаем

где

Таким образом, спектральная плотность гауссовского импульса является действительной функцией частоты (j _s=0) (т.к. сигнал задан четным образом), модуль которой также является гауссовским импульсом (рис. 14).

а)                                                   б)

Рис. 3.14

Т.е. гауссовскому спектру соответствует гауссовский импульс, причем чем шире полоса спектра, определяемая на уровне е^{-1/ 2} от максимума величиной b, тем уже условная длительность импульса, определяемая величиной а=1/b, и наоборот.

Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум

Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире полосы пропускания цепи, через которую проходит данный сигнал.

Если случайный процесс обладает равномерным энергетическим спектром в бесконечно широкой полосе частот то такой шум называют белым по аналогии с белым светом, имеющим в видимой части равномерный сплошной спектр. На рис.3.15 показана спектральная характеристика белого шума, где W_x(f) = W_{0 .}

Рис. 3.15. Спектр «белого» шума

Безусловно, такое представление случайного сигнала является идеализацией, т. к. дисперсия его должна иметь значение, равное бесконечности (см. равенство (2)). В то же время такая идеализация вполне применима, когда АЧХ исследуемой цепи дает возможность считать спектральную плотность на входе приближенно постоянной.

Использование понятия белого шума позволяет находить все необходимые характеристики случайного процесса на выходе радиосистемы только через собственные параметры радиоцепей, входящих в ее состав.

Законы распределения плотности вероятности белого шума могут быть любыми и часто их удобно считать нормальными.

К белому шуму обычно относят сигналы, имеющие игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами. Шум, имеющий равномерную плотность мощности в полосе частот (-f₁,f₁), также называется широкополосным.

На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.

Спектральный анализ

Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая спектры электромагнитного излучения, акустических волн, распределения по массам и энергиям элементарных частиц и др.

В зависимости от целей анализа и типов спектров выделяют несколько методов спектрального анализа. Атомный и молекулярный спектральные анализы позволяют определять элементный и молекулярный состав вещества, соответственно. В эмиссионном и абсорбционном методах состав определяется по спектрам испускания и поглощения.

Масс-спектрометрический анализ осуществляется по спектрам масс атомарных или молекулярных ионов и позволяет определять изотопный состав объекта.

Принцип исследования. Атомы каждого химического элемента имеют строго определённые резонансные частоты, в результате чего именно на этих частотах они излучают или поглощают свет. Это приводит к тому, что в спектроскопе на спектрах видны линии (тёмные или светлые) в определённых местах, характерных для каждого вещества. Интенсивность линий зависит от количества вещества и его состояния. В количественном спектральном анализе определяют содержание исследуемого вещества по относительной или абсолютной интенсивностям линий или полос в спектрах.

Оптический спектральный анализ характеризуется относительной простотой выполнения, отсутствием сложной подготовки проб к анализу, незначительным количеством вещества (10—30 мг), необходимого для анализа на большое число элементов.

Атомарные спектры (поглощения или испускания) получают переведением вещества в парообразное состояние путём нагревания пробы до 1000—10000 °C. В качестве источников возбуждения атомов при эмиссионном анализе токопроводящих материалов применяют искру, дугу переменного тока; при этом пробу помещают в кратер одного из угольных электродов. Для анализа растворов широко используют пламя или плазму различных газов.

Рис. 3.16. Спектр излучения вещества

Линейчатые спектры дают все вещества в газообразном атомарном состоянии. Изолированные атомы излучают строго определенные длины волн.

Непрерывные спектры дают тела, находящиеся в твердом, жидком состоянии, а также сильно сжатые газы.

Полосатые спектры в отличие от линейчатых спектров создаются не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг с другом. Полосатые спектры имеют твердые тела.

Рис. 3.17. Типы спектров

История. Тёмные линии на спектральных полосках были замечены давно, но первое серьёзное исследование этих линий было предпринято только в 1814 году Фраунгофером. В его честь эффект получил название «Фраунгоферовы линии». Фраунгофер установил стабильность положения линий, составил их таблицу (всего он насчитал 574 линии), присвоил каждой буквенно-цифровой код. Не менее важным стало его заключение, что линии не связаны ни с оптическим материалом, ни с земной атмосферой, но являются природной характеристикой солнечного света. Аналогичные линии он обнаружил у искусственных источников света, а также в спектрах Венеры и Сириуса.

Вскоре выяснялось, что одна из самых отчётливых линий всегда появляется в присутствии натрия. В 1859 году Г. Кирхгоф и Р. Бунзен после серии экспериментов заключили: каждый химический элемент имеет свой неповторимый линейчатый спектр, и по спектру небесных светил можно сделать выводы о составе их вещества. С этого момента в науке появился спектральный анализ, мощный метод дистанционного определения химического состава.

Для проверки метода в 1868 году Парижская академия наук организовала экспедицию в Индию, где предстояло полное солнечное затмение. Там учёные обнаружили: все тёмные линии в момент затмения, когда спектр излучения сменил спектр поглощения солнечной короны, стали, как и было предсказано, яркими на тёмном фоне.

Рис.3.18. Спектры химических элементов

Выводы:

Контрольные вопросы:

1. Что такое спектр?

2. Причины использования спектрального представления.

3. Виды спектров излучения.

4. Что такое спектральный анализ колебаний?

5. Что такое векторный анализ колебаний?

6. Виды спектрального анализа.

7. Частотная представление - альтернатива временной области.

8. Причины использования гармонических функций в качестве базисных функций.

9. Что такое гармонический сигнал, основной тон, обертоны, шум?

10. Спектры прямоугольного импульса и последовательности прямоугольных импульсов.

11. Отличие спектров периодического сигнала и одиночного сигнала.

12. Запишите и нарисуйте спектр гауссова импульса.