Лекция 8. Колебания систем со многими степенями свободы.

Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя, степенями свободы, и в пределе, при для анализа колебаний в сплошных средах, т.е. волн.

Обратимся вначале к колебаниям трех одинаковых масс закрепленных на равных расстояниях на натянутом легком резиновом шнуре, как показано на рис. 3.13а. Любое колебание этой системы может быть представлено как суперпозиция трех нормальных колебаний с частотами и Опуская на время вопрос о величине частот, найдем конфигурацию этих мод. Примем во внимание, что квадрат частоты колебаний каждой массы в данной моде должен быть одинаков. Этого можно добиться в случае, когда отношения возвращающей силы к величине массы и ее смещению у всех грузов будут одинаковыми. Такие условия реализуются при смещении масс тремя способами (б, в и г на рис. 8.1). При отпускании грузов из положения (б) в системе будет происходить первое нормальное колебание на частоте ; из положения (в) - второе на частоте ; из положения (г) - третье на частоте Очевидно, что

Рис.8.1.

Конфигурация каждой из мод может быть описана с помощью двух коэффициентов распределения амплитуд. Забегая вперед, отметим, что для четырех масс таких коэффициентов должно быть три, и т.д.

Однако ситуация может быть упрощена, если обратить внимание, что расположение масс в позициях (б), (в) и (г) на рис. 8.1напоминает "синусоидальное" (пунктиром изображен фрагмент функции где - некоторый параметр, характеризующий период этой функции). Тогда конфигурация первой моды будет описана следующим образом: (3.44а)

Для второй моды: (3.44б)

Для третьей моды: (3.44в)

Роль безразмерных коэффициентов выполняет функция вычисленная в точках

Другими примерами связанных осцилляторов являются атомы в молекулах CO₂, H₂O и т. д. На рис. 8.2 изображены конфигурации мод и приведены значения частот нормальных колебаний молекул. Обратим внимание, что эти частоты имеют порядок величины с^-1 и значительно превышают (на несколько порядков) частоты механических колебаний макроскопических систем. Резонансные колебания этих (и других) молекул можно возбудить при взаимодействии разноименно заряженных ионов, составляющих эти молекулы, с электрическим полем световой электромагнитной волны инфракрасного (ИК) диапазона, имеющей близкую частоту.

Рис.8.2.

В заключение отметим, что связь типа (3.55) между частотой и волновым числом называется дисперсионным соотношением. Это соотношение будет далее использовано при анализе распространения волн в периодических структурах.

Колебания струны

Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встречаются две волны, бегущие в противоположных направлениях. Поскольку эти волны когерентны, при их сложении образуется устойчивая интерференционная картина. В тех точках струны, где колебания, вызываемые обеими волнами, одинаковы по фазе, смещения от положения равновесия будут изменяться с удвоенной амплитудой. Такие точки принято называть пучностями смешения. Точки струны, куда приходят волны, вызывающие колебания с противоположными фазами, остаются в покое. Такие точки называют узлами смешений. Расстояние между ближайшими узлами (или пучностями) равно половине длины- волны.

Характерно, что ни узлы, ни пучности вдоль струны не перемещаются во время колебаний. Вот почему установившиеся колебания струны в целом называют стоячей волной. Понятно, что стоячая волна может образоваться в струне, закрепленной с двух сторон, только в том случае, если ее длина кратна целому числу полуволн.

Струны в музыкальных инструментах — это проволоки различной длины и толщины, которые могут быть изготовлены из разных материалов. Концы их всегда, так или иначе закреплены. Если заставить струну колебаться, то ее колебания будут передаваться окружающему воздуху, в результате чего возникнет звуковая волна. Частота колебаний в звуковой волне такая же, как и частота колебаний струны. От чего и как она зависит?

Опыт показывает (это можно проверить и расчетом), что частота колебаний струны обратно пропорциональна ее длине и диаметру, прямо пропорциональна квадратному корню из силы натяжения струны и обратно пропорциональна корню квадратному из плотности материала струны. Это означает, что длинные, толстые и тяжелые струны колеблются с меньшей частотой, чем короткие, тонкие и легкие.

Во время игры музыканты не могут, конечно, изменять массу или толщину струн, но в некоторых случаях они могут изменять длину струн, зажимая их в тех или иных местах пальцами. В таких инструментах число струн обычно невелико (у скрипки, например, их всего четыре). В других инструментах длина струн не изменяется, но зато в них достаточно велико число струн различной длины (пианино, арфа).