Свободные затухающие колебания пружинного маятника

Если в системе существует некоторое линейное затухание (т.е. сила сопротивления пропорциональная скорости движения тела), связанное с наличием сил сопротивления и трения, то амплитуда колебаний будет уменьшаться с течением времени. Пусть в системе действует сила вязкого трения, т. е. сила направленная против скорости движения груза, модуль которой прямо пропорционален скорости (см. рис. 6.1).

Рис.6.1

Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону Ньютона. Для пружинного маят­ника массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= —kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные напра­вления силы трения и скорости

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу ₀= (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих коле­баний маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону

где частота(см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника, согласно (146.8) и (146.10), Q=/r.

Схематический график этой функции и его огибающие показаны на рис. 623.

Отметим, наиболее существенные особенности решения уравнения затухающих  колебаний (3). Наличие силы вязкого трения приводит к уменьшению амплитуды колебаний. Причем в отличие от рассмотренного затухания под действием силы сухого трения амплитуда убывает нелинейно. Далее мы покажем, что это убывание происходит в геометрической прогрессии. При наличии вязкого трения частота колебаний уменьшается по сравнению с частотой свободных колебаний. Это уменьшение качественно понятно: сила трения замедляет движение, что и приводит к увеличению периода и уменьшению частоты. Если затухание не велико, этим изменением частоты можно пренебречь. Точный вид зависимости частоты от коэффициента затухания дает формула (5). На рис. 6.2 показаны несколько графиков решения рассматриваемого уравнения при различных значениях коэффициента затухания.  Числа на графиках указывают значение параметра γ/ω_o. Отметим, что при γ ≥ ω_o движение тела перестает быть колебательным. В этом случае (сильного затухания) тело монотонно стремится к положению равновесия.

Рис.6.2. Зависимость колебаний от коэффициента затухания β

Затухающие механические колебания крутильного маятника

Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.

Рассмотрим систему, совершающую крутильные затухающие колебания. Она представляет из себя брусок, подвешенный на струне, концы которой закреплены. На брусок для увеличения момента инерции может быть положено кольцо. После отклонения бруска на небольшой угол  от положения равновесия система будет совершать свободные крутильные колебания.

Рис. 6.3. Схема установки для наблюдения затухающихе крутильных механических колебаний

Получим дифференциальное уравнение затухающих крутильных колебаний. Чтобы выяснить, как изменяется со временем угол (t) запишем основной закон динамики вращательного движения

,

где: J – момент инерции бруска, – угловое ускорение,

–момент сил упругости, – момент сил сопротивления.

Уравнение (1) спроектируем на ось OZ

,

где: – проекция углового ускорения,

–проекция силы упругости,

k – коэффициент упругости,

–проекция силы сопротивления (эта формула справедлива для малых скоростей вращения),

–угловая скорость,

r – коэффициент сопротивления.

Уравнение в скалярной форме примет вид

,

.

Обозначим – коэффициент затухания и– циклическая частота собственных колебаний, получимдифференциальное уравнение затухающих колебаний

Решением уравнения (2) при малом затухании ₀ >  является уравнение затухающих колебаний

(3)

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени

,

здесь А₀ – амплитуда в начальный момент времени t = 0. Выясним физический смысл коэффициента затухания. Обозначим через  время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раз. Тогда

,

следовательно .

Физический смысл коэффициента затухания . Коэффициент затухания есть величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз

.

Рис.6.4. График затухающих колебаний.

Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты

.

Период затухающих колебаний

.

Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания,

Логарифмический декремент затухания  характеризует быстроту затухания колебаний и равен логарифму отношения амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени, отличающимся на период

где A(t) и A(t+T) – амплитуды двух соседних колебаний, называется логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — по­стоянная для данной колебательной системы величина.

Найдем связь между логарифмическим декрементом затухания и коэффициентом затухания

.

Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания.

,

где N_e – число колебаний, происходящих за время .

Физический смысл логарифмического декремента затухания .

Логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний N_e, по завершению которых амплитуда уменьшается в е = 2,718 раз

.

Добротность

Пниях логарифмического декремента добротность равна

(так как затухание мало (), то T принято равным Т₀).

Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e,

совершаемых системой за время релаксации.

Затухающие колебания в электрическом контуре

Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными параметрами. Емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R образуют (рис.6.5) последовательный колебательный контур (RLC контур).

Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока i одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.

Рис.6.5. Последовательный колебательный контур (RLC контур

Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае сумма напряжений на конденсаторе и на активном сопротивлении равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора

,

где – напряжение на конденсаторе,

–напряжение на активном сопротивлении,

–ЭДС самоиндукции в катушке.

Используем определение силы тока

.

Закон Кирхгофа примет вид

.

Разделим обе части этого уравнения на L

.

Введем следующие обозначения

–коэффициент затухания,

–циклическая частота собственных колебаний контура.

Получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний, описывающее изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в RLC контуре

(1)

Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентам.

1) Если ₀ > , то решением уравнения (1) является уравнение затухающих колебаний

, (2)

где: q₀ – заряд конденсатора в начальный момент времени,

₀ – начальная фаза.

Значения q₀ и ₀ определяются из начальных условий.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени и убывает со временем по экспоненциальному закону

.

Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты

.

Период затухающих колебаний всегда больше периода собственных колебаний

.

напряжение на конденсаторе

.

силу тока

.

_{После преобразования} .

Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на /2 и менее чем на  (при R = 0 на /2).

График затухающих колебаний заряда q изображен на рис.6.6. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

Рис.6.6. Определение времени релаксации

2) Пусть сопротивление контура велико, так что  > ₀. В этом случае частота затухающих колебаний будет мнимой

,

где – мнимая единица.

Это значит, что электрических колебаний в контуре не будет. В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет вид апериодического процесса

,

, ,

где А₁ и А₂ постоянные, так как  > ₀, то К₁ и К₂ оба вещественны и положительны.

Значения постоянных определяются начальными условиями задачи

,

.

Это дает

, .

После чего решение принимает вид:

.

Рис.6.7. График апериодических колебаний

На рис. 6 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура очень велико, так что  >> ₀, то К₁ >> К₂ и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе –К₂ по сравнению с К₁. Тогда .

Из сказанного видно, что для возникновения колебаний в RLC контуре необходимо, чтобы выполнялось условие ₀ > . Подставляем вместо ₀ и  их значения, находим условие возникновения колебаний

или ,

.

Критическое сопротивление – это сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический

.

Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии W колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за период W

.

Найдем связь между добротностью и логарифмическим декрементом затухания. При малых затуханиях ₀ >  энергия меняется по закону

.

Найдем изменение энергии за один период колебаний

,

т.к. , если.

Подставим в добротность и учтем что  = Т

.

Добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания или пропорциональна числу колебаний N_e, по прошествии которых амплитуда убывает в е = 2,718 раз

.

Их характерной особенностью является то, что они пересекают ось Ot не более одного раза, и возврат к равновесному состоянию у системы, выведенной из него, происходит за время порядка нескольких Такой режим движения называется критическим.

Наконец, если  > ω₀ то общее решение (1.52) является суммой двух убывающих с течением времени экспонент. Возможный вид зависимостей q(t) показан на рис. 6.7, и похож на критический, но возврат к равновесию осуществляется медленнее, чем в критическом режиме, поскольку вязкое трение больше. Данный режим движения называется апериодическим, или закритическим.

Отметим, что наиболее быстрое возвращение системы к положению равновесия происходит в критическом режиме, а в колебательном и апериодическом режимах этот процесс длится дольше. Поэтому, например, гальванометры - приборы для электрических измерений - работают обычно в режиме, близком к критическому, когда процесс установления их показаний, то есть смещения φ(t) рамки к устойчивому отклонению φ₀ имеет наименьшую длительность.

Рис. 6.7.

Иллюстрацией к рассмотренным закономерностям затухающих колебаний являются фазовые портреты, построенные для колебательного  < ω₀ а также критического и апериодического режимов (рис. 6.8).

Рис.6.8. Фазовые портреты процесса установления равновесия

При  < ω₀ фазовый портрет представляет собой совокупность спиралей, стягивающихся в особую точку типа "фокус". На рис. 1.18 изображена одна из таких спиралей. За каждый оборот радиус спирали уменьшается в e раз. Для критического и апериодического режимов фазовые траектории сходятся в особую точку типа "узел".