2.6. Упрощенный вывод формулы для е(n) системы m/g/1

Строгий вывод формулы для E(n) через производящую функцию, как видно, довольно сложен. Проще E(n) можно получить из (2.42).

Возведём (2.42) в квадрат, возьмём математическое ожидание от обеих частей и положим :

. (*)

При из (2.42) следует.

Кроме того: и- оба равенства следуют из определенияU(n).

Будем считать, что инезависимы, тогда

.

С учетом сделанных замечаний формулу (*) перепишем в виде:

Учтем также, что т. к. случайные величиныn и  независимы. Теперь

,

откуда .

Т.к. , то дляE(n) окончательно запишем

,

что совпадает с (2.66)

Здесь - дисперсия числа клиентов, поступающих в течение времени обслуживания.

Найдём . По определению дисперсии

. (2.67)

Поток заявок на обслуживание пуассоновский, поэтому для используем выражение (2.62), а, поэтому

. (2.68)

Изменим порядок интегрирования и суммирования с учётом следующих соотношений:

,

,

,

.

В последних трех формулах использованы свойства распределения Пуассона. Теперь (2.68) преобразуется к виду

.

Если в последней формуле учесть, что

,

,

то для можно окончательно записать

, (2.69)

где - дисперсия распределения времени обслуживания.

Подставим теперь (2.69) в (2.66):

,

т. е. . (2.70)

Формула (2.70) называется формулой Поллячека-Хинчина. Из формулы Литтла

. (2.71)

Здесь - среднее время обслуживания.

В системе M/M/1 время обслуживания распределено экспоненциально. Дисперсия этого распределения . Подставляя в (2.70), получаем:, что совпадает с полученным ранее.

Для системы M/D/1 все клиенты требуют одного времени обслуживания , при этом. Тогда:

, (2.72)

.

Можно считать, что система M/D/1 - это частный случай M/M/1 с наименьшей длиной очереди и задержкой.

В заключение найдем среднее время ожидания E(W) для M/G/1:

.

Подставим сюда E(T) из (2.71):

, (2.73)

где - второй момент распределения времени обслуживания.

2.7. Система обслуживания g/m/1.

Рассматриваемая система имеет один обслуживающий прибор при дисциплине обслуживания FIFO. Согласно описанной выше классификации систем массового обслуживания здесь предполагается, что промежутки времени между поступлениями распределены независимо с некоторой плотностью и средним значением. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону при средней интенсивности обслуживания. Будем рассматривать только установившийся режим.

Ключевым понятием при описании системы, как и раньше, является состояние системы, где под состоянием понимается число клиентов в системе в некоторый фиксированный момент времени. Диаграмма состояний системы представлена на рис.2.17.

Рис.2.17. К определению состояния системы G/M/1

На рис.2.17 показана последовательность моментов поступления требований, отождествляемая с последовательностью точек временной оси, порождающей марковскую цепь с дискретными состояниями. Здесь введены следующие обозначения:

- число клиентов в системе в момент поступления j-го требования на обслуживание,

- число клиентов, обслуженных между поступлением j-1 и j-го требования.

Согласно рисунку можно записать

. (2.74)

Предполагая, что установившийся режим работы системы существует (в работе [4] показано, что для этого необходимо выполнение условия , где, как обычно,), вероятностьk-го состояния системы определим как

. (2.75)

Определим теперь для рассматриваемой цепи вероятности перехода из одного состояния в другое в виде

. (2.76)

По сути дела, вероятность перехода вида (2.76) есть вероятность того, что за промежуток времени между поступлениями будет обслужено требование. Из рис. 2.17 и определения (2.76) следует, что число находящихся в системе требований в промежутке времени между поступлениями требованийj-1 и j не может быть больше, чем . Поэтомупри, т.е. переход из состоянияl в состояние k невозможен. На рис.2.18 представлена диаграмма вероятностей переходов марковской цепи, где указаны только переходы из состояния l.

Рис.2.18. Диаграмма вероятностей переходов марковской цепи для системы G/M/1

Если бы вероятности возможных переходов из одного состояния в другое были найдены, то, как показано в [4], для случая установившегося режима работы системы собственно вероятности состояний, введенные формулой (2.75), могли бы быть найдены из решения системы линейных алгебраических уравнений, матричная форма записи которых имеет вид

, (2.77)

где: - матрица-строка вероятностей состояний, размерность которой определяется интересующим нас набором состояний,

P – матрица, элементы которой совпадают с вероятностями перехода за один шаг.

Задача состоит в том, чтобы найти эти вероятности перехода. Для этого рассмотрим четыре области на плоскости (l, k), изображенные на рис.2.19.

Для области , где для индексовl и k справедливо соотношение , выше было выяснено, что здесь.

В области для индексовl и k соотношение определяется неравенствами , что соответствует тому случаю, когда требование

Рис.2.19. Границы изменения индексов l и k при выводе формул для .

не ждет, а сразу поступает на обслуживание. (Последняя единица в системе неравенств характеризует то, что мы рассматриваем однолинейную систему). За время между поступлениями требований закончится обслуживание требований. Но в областиl=0 и , поэтому ни одно требование не покинет систему. Т.к. время обслуживания распределено экспоненциально, вероятность этого события равна. Поэтому для единственной в этой области вероятностиможно записать

, (2.78)

где - плотность вероятности интервалов между приходом требований.

Теперь рассмотрим область , которая характеризуется неравенствами. В этой области сосредоточены вероятности,,,,и т.д. Это – случай, когда обслуживающая линия занята на протяжении всего промежутка времени между поступающими требованиями, и они попадают в накопитель для ожидания. Т.к. время обслуживания в данной системе распределено экспоненциально, то число обслуживаний за время промежутка между поступающими требованиями распределено по закону Пуассона с параметром (это будет, естественно, условная вероятность). Если ввести обозначение, что А – событие, состоящее в том, что на протяжении интервала времени t линия занята, то можно записать

. (2.79)

Как указывалось выше, чтобы перейти из состояния l в состояние k, необходимо, чтобы за время t было обслужено ровно требований. Имея это в виду, длязапишем.

(2.80)

Итак, в области - это вероятность обслуживаниятребований за промежуток времени, равный промежутку, когда обслуживающая линия остается занятой.

Для области соотношение между индексамиl и k имеет вид: . Здесь ситуация такова, что поступающее требование застает требование на обслуживании иl -1 требований в очереди. Поступившее требование встает в очередь на обслуживание. Итак, в системе становится l требований, и предположим, что все их надо обслужить за время , где- время между поступающими требованиями. Если положить, то с учетом того, что процесс обслуживания пуассоновский , и тогда согласно вышеизложенному

. (2.81)

Таким образом, выражения (2.77), (2.78), (2.80) и (2.81) дают описание вероятностей перехода и вероятностей состояний для системы G/M/1.

В фундаментальной работе [4] по теории массового обслуживания, показано, что для вероятностей состояния системы справедлив следующий результат

(2.82)

где  - единственное решение уравнения в области.

Там же показано, что система G/M/1 приводит к геометрическому распределению числа требований (клиентов) в моменты поступления нового требования и распределение времени ожидания имеет такую же форму как распределение времени ожидания в системе М/М/1 при выполнении условия .