2.4. Системы обслуживания, зависящие от состояний.

Пусть есть система с очередью, в которой интенсивности поступлений и обработки зависят от состояния системы. Напомним, что под состоянием системы понимается количество клиентов n, находящихся в системе, включая клиента, на обслуживании. Предположение о зависимости процессов поступления и ухода от состояния приводит к понятию процессов размножения и гибели.

Рассмотрим систему, представленную на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Система, зависящая от состояний.

Пусть поступления в систему – пуассоновские с интенсивностью , а распределение времени обслуживания – экспоненциальное с параметром. Определим для системы, находящейся в состоянииn, вероятность одного поступления за интервал времени в виде. Вероятность отсутствия поступлений, соответственно, запишется как. Будем также предполагать, что последействие отсутствует, т.е. вероятность того, что происходит в интервале, не зависит от того, что происходит на других интервалах.

Процесс ухода клиентов определяется аналогичными вероятностями на интервале :и.

Рассмотренная выше система, когда и, является частным случаем рассматриваемой.

Объединяя два процесса и устремляя , для состояния статистического равновесия, повторяя вышеприведенные рассуждения, можно записать

. (2.22)

Уравнение равновесия (2.22) может быть получено путем приравнивания интенсивностей уходов из состояния n к интенсивности приходов в состояние n (см. пунктирную область около состояния n на рис.2.12).

Рис.2.12. Состояние равновесия по уравнению (2.22).

Решение уравнения (2.22) можно, как и выше, искать в виде

, (2.23)

что приводит к

. (2.24)

Вероятность определяется из условия нормировки. ЕслиN (число клиентов в очереди) конечно, то система всегда стабильна. При бесконечной очереди () стабильность гарантируется при>0.

Приведем теперь примеры использования обсужденной модели системы массового обслуживания.

Система М/М/2.

Рассмотрим систему, изображенную на рис.2.13.

На входе системы действует пуассоновский поток пакетов данных с интенсивностью . Длина пакетов предполагается случайной величиной с экспоненциальным распределением со средним значением секунд.

Рис.2.13. Система М/М/2.

Вероятность завершения обслуживания за интервал влюбом канале равна , а вероятностьодного завершения обслуживания в системе - . Таким образом, система М/М/2 может рассматриваться как система, зависящая от состояния, потому, что

Из (2.24)

, (2.25)

где .

Вероятность Р₀ найдем для случая бесконечного накопителя из условия .

Подставим (2.25) в условие нормировки: . Теперь. И, наконец:

. (2.26)

Формула (2.25) запишется как

, . (2.27)

Найдем среднюю занятость системы

.

При выводе формулы (2.13) было получено . С учетом этого результата

. (2.28)

Сравним занятость систем М/М/1 и М/М/2. Напомним, что , где. С учетом соотношения для можно утверждать, что средняя занятость системы М/М/2 всегда меньше.

Среднее время задержки определим по формуле Литтла:

, где . (2.29)

Для сравнения: , где. Теперь видно, что всегда

.

На рис.2.14 приведены зависимости нормированной задержки от коэффициента нагрузки для трех систем: , М/М/2 и системыс удвоенной интенсивностью обслуживания.

Из сравнения зависимостей следует, что добавление обслуживающей линии уменьшает время задержки и, естественно, увеличивает производительность системы. Но система будет лучше, чем М/М/2, т.е. удвоение пропускной способности лучше, чем добавление второй линии (если это оправдано стоимостью и надежностью оборудования).

Рис.2.14. Сравнение нормированной задержки трех систем.

Для системы М/М/2 максимально возможная производительность составляет величину , но она никогда не может быть достигнута, т.к. с вероятностьюР₀ система пустая и с вероятностью Р₁ используется только одна линия. Поэтому средняя производительность определяется как

. (2.30)

В справедливости последнего знака равенства легко убедиться, подставив в (2.30) Р₀ и Р₁ из (2.26) и (2.27). С учетом (2.30) величину можно рассматривать как отношение средней производительности к максимальной.

Система .

Здесь обслуживающая линия доступна любому клиенту, поступающему в систему. Поэтому очередей и блокировок не возникает, и для данной системы

.

Из (2.25) , где.

Из условия нормировки . С учетом того, что, дляР₀ получаем . Если данное значение вернуть в формулу дляР_n , то получится - это формула Пуассона.

Среднее количество клиентов в системе:(результат был получен выше при исследовании распределения Пуассона). Итак

. (2.31)

Сравнение с показывает, что<. Это сравнение говорит о целесообразности увеличения числа обслуживающих линий, либо о необходимостиуправления интенсивностью входящего потока.

Производительность системы , определенная «по входу» равна , т.к. для всех n выполняется .

Средняя задержка

. (2.32)

Это очевидно, т.к. очереди нет, и время задержки равно среднему времени обслуживания . Производительность системы можно рассчитать и «по выходу» через интенсивность обслуживания с учетом

, (2.33)

что совпадает с производительностью, определенной «по входу».

Система с «нетерпеливыми» клиентами.

Это - система с управлением входным потоком.

Здесь и. Доступна одна обслуживающая линия, и, когда очередь становится большой – клиенты уходят. Для передачи пакетов это означает, что контроллер системы либо отводит новые поступления, либо блокирует систему, что приводит к уменьшению интенсивности поступлений.

Нетрудно убедиться, что из общей формулы (2.24) легко для данной системы получить

, где . Значит в этой системе, и. Следовательно

.

Производительность системы, определенная «по входу», запишется как

.

С учетом того, что последнее выражение примет вид

. (2.34)

Этот результат можно получить и по-другому, если учесть, что для однолинейной системы с интенсивностью обслуживания  производительность равна . Но здесь, что и дает результат (2.34).

Зная и можно найти нормированное среднее время задержки

, . (2.35)

При , (с учетом), т.е. задержка приближенно равна времени обслуживания и.

Система остается стабильной и при больших , т.к. существует управление потоком. При этом растет средняя занятость системы и наиболее вероятны состояния с большими значениямиn.

Система M/M/N/0.

Это частный случай системы с конечным числом обслуживающих линий и без мест для ожидания (без накопителя) – см. рис.2.15.

Рис. 2.15. Система M/M/N/0.

Здесь и. Приn=N все поступления блокируются. Мест для ожидания нет и поэтому – это система с потерями. Данная система является базовой моделью для анализа телефонных станций.

Для системы было получено, где. Здесь условие нормировки имеет вид. Подставляя сюдаполучаем

, и возвращая теперь вимеем

. (2.36)

Блокировка наступает при n=N. Поэтому

. (2.37)

Формула (2.37) – это распределение Эрланга 1-го рода или В-распределение.

Найдем среднюю занятость системы.

, т.е.

. (2.38)

При увеличении  вероятность блокировки стремится к единице и.

Производительность , определенная «по входу», равна

, (2.39) или – «по выходу :.

При увеличении  производительность стремится к своему максимальному значению . Это происходит тогда, когда, большинство вызовов блокируется и.

Средняя задержка вызовов, которые приняты системой равна , т.е.среднему времени обслуживания (продолжительности занятия). Это подтверждает формула Литтла

. (2.40)