Задание № 4. Исследование тракта модулятор-демодулятор.

4.1) Определим:

• скорость АМ (амплитудной модуляции)

Скорость модуляции будет равна скорости выдачи кодовых символов канальным кодером

• тактовый интервал передачи одного бита

Тактовый интервал определяется как величина, обратная скорости модуляции

• минимально необходимую полосу пропускания канала

Минимально необходимая полоса пропускания канала определяется в соответствии с теоремой Найквиста.

• частоту несущего колебания

• Запишем аналитическое выражение АМ – сигнала в общем виде:

.

Предположим, что , тогда

.

Запишем выражения для сигналов, соответствующих передаче 0 и 1

│

│

Тогда:

^.

4.2) Запишем аналитическое выражение, связывающее сигналы на входе и выходе.

Учитывая, что у нас Гауссовский канал с неопределенной фазой, то выражения примут вид:

, где

–сигнал на выходе,

–сигнал на входе,

–шум.

и – сигналы, соответствующие приёму 1 и 0.

Тогда:

.

Найдем амплитуду . Выразим амплитуду несущего колебания из выражения для вычисления мощности единичного сигнала на передаче:

,

.

Найдем . Имеем некогерентный прием, значит:

Найдем энергию единичного сигнала из формулы:

, отсюда

Найдем мощность единичного элемента сигнала на приеме:

_{, откуда}

, отсюда:

Мы знаем, что

Ранее получили:

.

Теперь, зная амплитуду несущего колебания , и подставив все численные значения, мы можем записатьаналитическое выражение, связывающее сигналы на входе и выходе:

4.3) Мы знаем, что если значение начальной фазы приходящего сигнала не известно и может принимать любое значение на интервале , то такой метод приема называется некогерентным.

Для вывода правила оптимального некогерентного приема будем исходить из логарифма отношения правдоподобия для сигнала ,– известный коэффициент передачи канала, а– случайный сдвиг в канале, тогда: .

Здесь является случайной величиной, принимающей различные значения при различных. Правило максимума правдоподобия в такой ситуации:

При нахождении заметим, что второй интеграл в правой части (предыдущей формулы) отне зависит и равен энергиисигналана входе канала. Учитывая, что, получаем:

,

где ,.

Обозначив и, можно записать:

,

где – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Вместо того, чтобы сравнивать отношения правдоподобия, можно сравнить их логарифмы, что приводит к следующему алгоритму:

Для двоичной системы сигналов правило оптимального некогерентного приема выражается неравенством:

При выполнении этого неравенства регистрируется 1, в противном случае регистрируется 0. Итак, изобразим структурную схему, соответствующую данному алгоритму:

Рисунок 7. Схема реализации оптимального приёма дискретных сообщений при неопределённой фазе сигнала

Поясним назначение блоков:

«» – перемножители;

«Г₁» – генератор опорного сигнала;

«» – фазовращатель всех сигнальных компонент на π/2 (преобразователь Гильберта);

«∫» – интеграторы;

«БОМ» – блок определения вектора по ортогональным направлениям;

«НУ» – нелинейное безинерционное устройство с характеристикой; «–» – вычитающие устройства.

4.4) Найдем:

• минимально необходимую мощность сигнала на приемной

стороне

_{При прохождении сигнала по каналу его амплитуда изменяется в гамма раз. Поскольку мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то}

_{Ранее мы получили значение , и, следовательно}

_.

• минимально необходимую мощность сигнала на передающей

стороне

_{Она так же была получена ранее:}

• среднюю мощность сигнала на приеме

Она рассчитывается по формуле: , где – мощность сигнала, соответствующего передаче нуля на приеме. Для АМ.

4.5) Определим пропускную способность непрерывного канала связи .

Учтём, что для расчета используется средняя мощность сигнала на приёмной стороне_.

_.

При АМ полоса частот передаваемого сигнала увеличивается в два раза, следовательно, во столько же увеличивается и минимально необходимая полоса пропускания канала:

Вывод:Мы рассчитали пропускную способность непрерывного канала. Она больше скорости модуляции, что говорит о правильно проделанных расчетах.

Пропускная способность непрерывного канала связи больше скорости выдачи информации на выходе кодера. Предельная скорость передачи в канале.

4.6) Ранее мы вычислили, что . Теперь определим, как изменится вероятность ошибки на выходе демодулятора при использовании других видов модуляции при сохранении пиковой мощности сигнала:

.

_{Подставив численные значения, получим:}

.

Вывод: Вероятность ошибки при сохранении пиковой мощности для относительной фазовой модуляции меньше по сравнению с частотной и амплитудной модуляцией, следовательно, данный вид модуляции достаточно эффективен.