-
Принцип наименьшего действия (интегральный принцип Гамильтона) и уравнения Лагранжа
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%E8%ED%F6%E8%EF_%ED%E0%E8%EC%E5%ED%FC%F8%E5%E3%EE_%E4%E5%E9%F1%F2%E2%E8%FF
-
Свойства функции Лагранжа. Построение функции Лагранжа для свободной материальной точки и для системы материальных точек
Лагранжа функция, (кинетический потенциал), характеристическая функция L(qi, q`i, t) механической системы, выраженная через обобщённые координаты qi, обобщённые скорости q`i и время t. В простейшем случае консервативной системы Лагранжа функция равна разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы, выраженными через qi и q`i, т. е. L=T(qi, q`i,t) -Пqi;. Зная Лагранжа функцию, можно с помощью наименьшего действия принципа составить дифференциальные уравнения движения механической системы. Понятие «Лагранжа функции» распространяется также на системы с бесконечным числом степеней свободы — классические поля физические; при этом обобщёнными координатами и импульсами являются значения функции поля и их производные по времени в каждой точке пространства-времени. Как и в классической механике, посредством принципа наименьшего действия Лагранжа функция определяет для поля уравнения движения. Важным свойством Лагранжа функции является релятивистская инвариантность её плотности (величины Лагранжа функции в единице объёма поля) и другие свойства её симметрии. Каждой из симметрии соответствует закон сохранения некоторой физической характеристики. Так, неизменности относительно калибровочной симметрии соответствует сохранение заряда и т. д.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CB%E0%E3%F0%E0%ED%E6%E5%E2%E0_%EC%E5%F5%E0%ED%E8%EA%E0 – инфа о ф-ии и ее одно свойство
http://fini3.ru/uravneniya-dvizheniya/7-1-1-5funktsiya-lagr.html - функция Лагранжа для системы материальных точек
Построение функции Лагранжа для свободной частицы
Обратим внимание на начало заголовка параграфа. Функция Лагранжа не выводится, а строится, исходя из общефизических требований (например, принципа относительности), свойств пространства и времени, и конкретных условий задачи.
Материальная
частица считается свободной, если на
нее не действуют внешние силы. Воспользуемся
тем, что пространство однородно и
изотропно, а время – однородно. Тогда
функция Лагранжа в данной задаче не
должна зависеть ни от радиуса- вектора
положения материальной точки, ни от
времени. От скорости зависимость должна
быть ~
,
чтобы также не зависеть от направления
скорости. Наиболее очевидный вид функции
будет такой:
А требование принципа относительности Галилея дает нам вид этой функции в любой другой ИСО:
Так как функция Лагранжа определяется с точностью до постоянного множителя, то для свободной материальной точки можно для нее выбрать такой вид:
,
где
постоянную
выберем в виде
Правильность
такого выбора подтвердится при решении
конкретных задач. Величину
назовем массой материальной точки.
Таким образом, функция Лагранжа для свободной материальной точки запишется так:
.
Для системы свободных материальных точек функцию Лагранжа, в силу ее аддитивности, запишем так:
Запишем построенную функцию Лагранжа для свободной материальной точки в различных прямоугольных координатах.
В декартовых координатах:
в полярных координатах:
в сферических координатах:
-
Обобщение принципа Гамильтона на неконсервативные и неголономные системы
Голдстейн!!!
-
Реакция связей и метод неопределенных множителей Лагранжа
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%EC%ED%EE%E6%E8%F2%E5%EB%E5%E9_%CB%E0%E3%F0%E0%ED%E6%E0 – метод множителей Лагранжа
http://www.coolreferat.com/Связи_и_реакции_связей - свяки и реакции связей
-
Закон сохранения импульса как следствие однородности пространства
http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%E0%EA%EE%ED_%F1%EE%F5%F0%E0%ED%E5%ED%E8%FF_%E8%EC%EF%F3%EB%FC%F1%E0#.D0.A1.D0.B2.D1.8F.D0.B7.D1.8C_.D1.81_.D0.BE.D0.B4.D0.BD.D0.BE.D1.80.D0.BE.D0.B4.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.8C.D1.8E_.D0.BF.D1.80.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.B0.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0 – и о законе сохр.импульса и вывод из лагранжевских формул.
-
Закон сохранения импульса как следствие изотропности пространства
Изотропность — одно из ключевых свойств пространства в классической механике. Пространство называется изотропным, если поворот системы отсчета на произвольный угол не приведет к изменению результатов измерений. Из свойства изотропности пространства вытекает закон сохранения момента импульса. Изотропность пространства означает, что в пространстве нет какого-то выделенного направления, относительно которого существует «особая» симметрия, все направления равноправны. Следует отличать изотропность от однородности пространства.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Момент_импульса - смотреть закон сохранения углового момента
-
Закон сохранения энергии как следствие однородности времени
С фундаментальной точки зрения, согласно теореме Нётер, закон сохранения энергии является следствием однородности времени, то есть независимостью законов физики от момента времени, в который рассматривается система. В этом смысле закон сохранения энергии является универсальным, то есть присущим системам самой разной физической природы. При этом выполнение этого закона сохранения в каждой конкретно взятой системе обосновывается подчинением этой системы своим специфическим законам динамики, вообще говоря различающимся для разных систем.
http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Нётер#.D0.97.D0.B0.D0.BA.D0.BE.D0.BD.D1.8B_.D1.81.D0.BE.D1.85.D1.80.D0.B0.D0.BD.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F – теорема Нётер