2.4. Решение задачи. Вариант №2

Оптимизация производственной программы предприятия при ограничениях на трудоемкость и металлоемкость.

Нормы трудоемкости изготовления трех изделий имеют значения:

= 0,4 (чел.-час); = 0,2 (чел.-час);= 0,1 (чел.-час),

а нормы металлоемкости тех же изделий – значения:

= 0,4 (кг); = 1 (кг);= 2,5 (кг).

Суммарная трудоемкость производственной программы определяется величиной

= 4400 (чел.-час),

а суммарная металлоемкость –

= 14000 (кг).

Изделия отпускаются с предприятия по ценам за штуку:

= 1200 (руб.); = 1000 (руб.);= 1700 (руб.).

Задача оптимизации производственной программы предприятия может быть сформулирована следующим образом: указать производственную программу (распределение объемов производства изделий) (), при выполнении которой достигается наибольшее значение дохода предприятия:

y = 1200+ 1000+ 1700;

0,4 + 0,2+ 0,1= 4400;

0,4 + 1+ 2,5= 14000;

0, 0,0.

В пространстве переменных () первое из ограничений (по трудоемкости) определяет плоскость, проходящую через точки:

(= 4400/0,4 = 11000,= 0,= 0);

(= 0,= 4400/0,2 = 22000,= 0);

(= 0,= 0,= 4400/0,1 = 44000).

Графическое изображение этой плоскости приведено на рис. 1.

Второе ограничение (по металлоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

(= 14000/0,4 = 35000,= 0,= 0);

(= 0,= 14000/1 = 14000,= 0);

(= 0,= 0,= 14000/2,5 = 5600).

Плоскость также изображена на рис. 1.

Из графического изображения плоскостей-ограничений вытекает следующее:

- линия пересечения плоскостей-ограничений существует и пересекает координатные плоскости = 0,= 0,= 0 в точкахсоответственно. Ограничения трудоемкости и металлоемкости линейно независимы;

- условия 0,0,0 определяют отрезок линии пересечения, лежащей между координатными плоскостями= 0,= 0, а конец этого отрезка суть точкии. Следовательно, оптимальная производственная программа существует (ограничения по трудоемкости и металлоемкости сбалансированы) и реализуется либо в точке, либо в точке;

- точка содержит отрицательную вторую компоненту и производственной программой служить не может.

Рис.1. Графическое изображение плоскостей-ограничений в контрольном примере

Находим координаты точки = () решая систему уравнений:

0,2+ 0,1=4400,

1+ 2,5= 14000.

Получаем: = 0;

= (4400*2,5 – 0,1*14000)/(0,2*2,5 – 0,1*1) = 24000;

= (0,2*14000 – 4400*1)/(0,2*2,5 – 0,1*1) = -4000

Значение второй компоненты отрицательное, что ранее было замечено (см. рис. 1). В этом случае значение целевой функции можно вычислить:

1200*24000 – 1000*4000 = 24800000,

но согласно алгоритму решения задачи мы полагаем доход предприятия равным нулю, = 0.

Находим координаты точки = (), решая систему уравнений:

0,4+ 0,1= 4400,

0,4+ 2,5= 52000.

Получаем:

= (4400*2,5 – 0,1*14000)/(0,4*2,5 – 0,1*0,4) =10000;

= 0;

= (0,4*14000 – 4400*0,4)/(0,4*2,5 – 0,1*0,4) = 4000.

Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :

= 1200*10000 + 1700*4000 = 18800000.

При вычислении координат точки = () путем решения системы уравнений

0,4+ 0,2= 4400,

0,4+ 1= 52000,

получаем:

= (4400*1 – 0,2*14000)/(0,4*1 – 0,2*0,4) =5000;

= (0,4*14000 – 4400*0,4)/(0,4*1 – 0,2*0,4) =12000;

= 0.

Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :

= 1200*5000 + 1000*12000 = 18000000.

Расположим полученные значения целевой функции в порядке возрастания:

0 = <= 18.000.000 <= 18.800.000.

Можно видеть, что оптимальной является вторая производственная программа, соответствующая наибольшему значению целевой функции.

Опуская дробные части в значениях объемов производства, приходим к выводу:

- изделия второго типа не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия –

= 0;

- объем производства изделий первого типа запланировать в количестве

= 10000 (шт.);

- объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве

= 4000 (шт.).

При этом предприятие получит наибольший возможный доход:

= 1200*10000 + 1700*4000 = 18800000 (руб)., т.е. 18,8 млн.руб.

Незначительным резервом трудоемкости и остатком металла, получающимися в результате опускания дробных частей в значениях объемов производства, по существу задачи можно пренебречь.

Результаты расчетов представим в виде таблицы 1.

Таблица 1

Оптимальная производственная программа предприятия

Тип изделия	1	2	3
Объем производства, шт.	10000	0	4000
Доход предприятия, руб.	18800000