ПРАКТИКУМ Теор колеб и нел динамика , 3 курс / Переход к хаосу через последовательность бифю удвоения периода. ) / Лекция 9 из книги Путь в синергетику, Безручко Б.П. и др

Предположим далее, что движение вещества имеет характер вихрей разного масштаба. Введем характерный размер вихря l (скажем, диаметр вихря) и соответствующую скорость vl вихревого движения. Вместо l можно ввести волновое число вихря k=2π/l.

Основная характеристика турбулентности – спектральная функция – распределение энергии по различным масштабам движения или скорости движения от масштаба. Для вихревой турбулентности имеет место спектр Колмогорова–Обухова, полученный для изотропной и однородной турбулентности несжимаемой жидкости (плотность жидкости считается постоянной). Предположим, что перекачка энергии между вихрями различных масштабов определяется только одним параметром ε – потоком энергии через всю иерархию вихрей, от самых больших к самым малым. Если считать, что энергия крупномасштабных движений не диссипирует непосредственно в тепло, то величина энергии, передаваемая от вихрей этого масштаба к вихрям меньшего масштаба, постоянна, т.е. не зависит ни от масштаба движений, ни от соответствующих скоростей.

Определим спектральную функцию энергии турбулентного движения Wk, отнесенной к единице массы таким образом, чтобы энергия, заключенная в движениях с волновыми числами в интервале от k до k+dk, равнялась Wkdk и была функцией ε и k. Тогда в эквивалентной форме закон КолмогороваОбухова запишется как

где C – некоторая постоянная.

Вернемся к воспоминаниям Г. Моффата1. "В мою память врезались и некоторые другие события на марсельской конференции. Среди них доминирует драма закона k–5/3. Экспериментальное доказательство, представленное на конференции Бобом Стюартом..., казалось разрешило вопрос. Его эксперименты, проведенные при числе Рейнольдса 3 108 в приливном канале между островом Ванкувер и материковой Канадой, обеспечили убедительную поддержку закона k–5/3 в нескольких октавах спектра2.

Для величины C на основании результатов экспериментов было получено значение

1Моффат Г. Некоторые направления развития теории турбулентности // Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.:Мир, 1984. СС.49-76.

2Напомним тем, кто не занимался музыкой, что октава – это диапазон частот, граничные частоты которого различаются ровно в два раза, т.е. f2 = 2 f1, где f1 и f2 – граничные частоты октавы.

C=1.44±0.6.

Таким образом, здесь это состоялось: классический пример долгожданного экспериментального доказательства, давшего подтверждение теоретического аргумента основополагающей важности. И все-таки существовала серьезная проблема, которая как раз всплыла на поверхность в то время, – проблема, которая серьезно затрагивала правдоподобие теории Колмогорова. Это была проблема перемежаемости...

Действительно, на той же самой марсельской конференции Колмогоров сам обратил внимание на эту проблему... Принимая во внимание пространственную перемежаемость флуктуаций скорости диссипации ε, Колмогоров показал, что формулу (9.*) следует заменить выражением

где δ – малое положительное число...1 В итоге изменение выражения (9.24) было небольшим. Тем не менее модификация основополагающих гипотез подобия была глубокой. Оказалась утраченной прекрасная простота ранней теории, не осталось аспектов турбулентности, претендующих на роль простых". Эта драма идей длится и поныне.

Вернемся к нашей модели турбулентности. При движениях самых больших масштабов ε уже не является единственным определяющим параметром: скорости движения в этих масштабах зависят и от геометрии среды и от той причины, которая вызывает движения в самых крупных масштабах.

Со стороны малых масштабов спектр Колмогорова-Обухова ограничен влиянием вязкости или других диссипативных процессов. Нижняя граница масштабов lν спектра Колмогорова-Обухова будет зависеть от ε и ν – коэффициента кинематической вязкости. В этом случае (см., например, [2, лекция 9])

Как же возникает турбулентность? Мы уже писали о сценариях Ландау, Рюэля и Такенса и о том, что под подозрением находится сценарий Фейгенбаума. Попробуем продемонстрировать последнее, используя рассуждения очень хорошей и единственной в своем роде книги В.П. Крайнова2.

1У Г.Моффата l0 – масштаб длины некоторой области, в которой энергия "подводится" к турбулентности со скоростью e в единице массы.

2Крайнов В.П. Качественные методы в физической кинетике и гидродинамике. М.:

Высшая школа, 1989. С. 131-134.

Если жидкость неидеальная (вязкая), то разные слои жидкости движутся с разной скоростью. Тогда существует сила трения между различными слоями жидкости. Для вязкой жидкости справедливо уравнение Навье–Стокса

где ρ – постоянная плотность жидкости, p – давление, ν – кинематическая вязкость, vx – составляющая скорости вдоль оси x.

Если l - характерный масштаб длины данного течения, то слагаемое в левой части уравнения (9.****), характеризующее нелинейность, можно оценить как v2/l, а последнее слагаемое в правой части, ответственное за диссипацию, как νv/l2. Отношение величин, полученных в результате оценки приводит к уже известному числу Рейнольдса

Re = νvl

Если Re 1, то нелинейным по скорости слагаемым в (9.****) можно пренебречь.

Учитывая наши оценки, запишем (9.****) качественно в виде:

где все коэффициенты a, b и c – постоянные.

Пусть в жидкости имеется некоторое характерное течение с периодом T. Тогда приближенно левую часть в уравнении (9.*****) можно переписать так:

где α,β,γ – некоторые новые постоянные.

Линейное слагаемое в уравнении (9.x1), не теряя общности, можно убрать, если перейти в другую систему координат, которая движется относительно исходной с некоторой скоростью V=const (т.е. v(t) → v(t)+V). Тогда уравнение (9.30) становится таким:

где v0 – некоторая характерная скорость течения жидкости (например, скорость тела, движущегося в жидкости), λ – безразмерная постоянная. Эта постоянная может быть качественно идентифицирована с числом Re, так как отношение нелинейного слагаемого в уравнении Навье-Стокса к"вязкому" слагаемому порядка числа Re (это следует, в частности, из того, как мы вводим число Re).

Окончательно приходим к разностному уравнению

которое качественно сохраняет все основные особенности исходного уравнения Навье–Стокса.

Знак минус в уравнении (9.x3) появился из-за того, что в случае знака плюс скорость v при повторении периодов времени T при v0>0 будет неограниченно возрастать.

Строго периодическое решение уравнения (9.х3) означает, что v1(t+T)=v1(t), следовательно, из (9.х3) получаем квадратное уравнение для v1:

где для определенности взят положительный корень.

Пусть теперь периодическое решение слабо возмущено: v=v1+∆v. Подставляя это выражение для v в уравнение (9.х3) и, ограничиваясь членами первого порядка по ∆v, получаем

Если 2Re v1<v0, то из (9.х6) следует, что |∆v(t+T)|<|∆v(t)|. Это означает, что возмущение со временем уменьшается и, следовательно, периодическое течение со скоростью (9.х5) является устойчивым.

Когда 2Re v1>v0, это течение неустойчиво, так как возмущение возрастает со временем. Течение теряет устойчивость при значениях Re=Re1 и v1 = v1 , которые удовлетворяют соотношению

Таким образом, периодическое течение со скоростью v1 устойчиво при Re<Re1 и неустойчиво при Re>Re1. Из уравнения (9.х6) и равенства (9.х7) видно, что на границе устойчивости ∆v(t+T) = –∆v(t) и, следовательно,

∆v(t+2T)=–∆v(t+T)= ∆v(t).

Таким образом, течение со скоростью v1 +∆v тоже периодическое, но с

периодом 2T, т.е. с удвоенным периодом исходного течения.1

Чтобы найти условие потери устойчивости этого периодического течения с периодом 2T, протерируем уравнение (9.х3) еще через один период. Это дает:

Так как v<v0, последним слагаемым в уравнении (9.х9) можно пренебречь (четвертая степень v(t)/v0 дает малый числовой вклад в (9.х9).

Введем обозначения

v(t) = v(t)(1−Re) , λ = 2 Re2 (Re−1).

С учетом них упрощенное уравнение (9.x9) примет вид

Формально уравнение (9.х10) совпадает с уравнением (9.х4), если заменить v на v и Re на λ (период, конечно, другой) Но тогда, рассуждая как в случае периода T, можем сделать вывод, что потеря устойчивости происходит при λ=λ2=3/4 и, поскольку λ=2Re2(Re-1), находим, что соответствующее число Рейнольдса Re2~1.230.

Таким образом, периодическое течение с периодом 2T устойчиво при Re<Re2 и неустойчиво при Re>Re2. Произведя еще одну итерацию уравнения (9.х4), очевидно, придем к выводу, что потеря устойчивости периодического течения с периодом 4T происходит при µ=3/4, где µ=2λ(λ−1), т.е. λ=λ3~1,23 и

1 Сказанное справедливо не только для Re=Re1, но в общем случае для любых Re. Но тогда ∆v не есть произвольное малое возмущение, как мы предположили выше, а имеет определенное конечное значение. Ему соответствует определенное конечное значение скорости течения v=<v1>+∆v, имеющего период 2T.

Re3=1,340. Следующее число Рейнольдса, при котором теряет устойчивость течение с периодом 8T, Re4~1,364. Проделывая подобную процедуру бесконечное число раз, получим, что полная потеря устойчивости течений со всеми периодами имеет место при достижении критического числа

Reкр=Re∞=2Reкр2(Reкр2–1). Откуда Reкр=1/2(1+ 3 )~1.366.

В рамках нашего подхода область Re>Reкр соответствует возникновению турбулентности. Отметим быстрое сближение чисел Рейнольдса Ren с ростом номера n, соответствующего потере устойчивости периодического течения с периодом 2n-1T.

Рассчитаем δ по формуле (Re3–Re2)/(Re4–Re3), используя полученные значения Re. Расчет дает δ~4,67. Правда, следует заметить, что результат сильно зависит от точности вычислений и от величины n, поскольку, как мы

указывали, (Λn+1–Λn)/(Λn+2–Λn+1)→δ при n→∞.

Итак, сценарий Фейгенбаума перехода к турбулентности жидкости возможен, однако есть и другие сценарии, наблюдающиеся в той же самойсистеме, но при других значениях бифуркационного параметра.

Другие сценарии возникновения хаоса: перемежаемость и разрушение квазипериодических колебаний. Наиболее часто встречающийся в приложениях переход к хаосу – перемежаемость, который впервые описали французские физики П. Манневиль и И. Помо, 1980. На осциллограмме перемежаемость выглядит как постепенное (при изменении параметра) исчезновение периодических колебаний за счет их прерывания хаотическими всплесками (рис.9.?). Отсюда и название – перемежаемость.

Вот как описана перемежаемость в книге [18, С. 251] (один из ее авторов уже упоминавшийся И. Помо) применительно к гидродинамическим явлениям. «Если мы возмутим быстрое течение (с большим числом Рейнольдса), поместив в него пластину, параллельную среднему направлению течения, то в окрестности пластины образуется пограничный слой. Такой турбулентный пограничный слой, если его усреднить по времени, имеет четкую пространственную границу. Но по не понятым до конца причинам эта граница в отдельные редкие интервалы времени испытывает очень большие мгновенные смещения. Соответствующие флуктуации в поле скоростей становятся все более перемежающимися, если мы производим измерения на все больших расстояниях от пограничного слоя. Мы можем также упомянуть мелкомасштабную перемежаемость в полностью развитой турбулентности – явлении, объяснение которого все еще остается спорным. Переходные течения в трубах (т.е. течения с числами Рейнольдса, точно соответствующими экспериментальной точке перехода между ламинарным и турбулентным режимами) также имеют

перемежающуюся структуру: турбулентность имеет тенденцию сосредоточиваться в зонах пространства с четко выраженной границей как показал Рейнольдс более ста лет назад».

Рис. 9.?. Зависимость переменной x от дискретного времени n для логистического отображения (3.6) при переходе от цикла периода 3 к хаосу по сценарию перемежаемости с уменьшением управляющего параметра λ 1

Дадим качественное описание перехода к хаосу через перемежаемость с помощью невзаимнооднозначного отображения отрезка в себя. Рассмотрим отображение, представленное на рис. 9.?а. Оно содержит, кроме двух растягивающих участков 1 и 2, участок 3, пересечению которого с биссектрисой соответствуют две неподвижны точки – устойчивая и неустойчивая (см. лекцию 3). В основной своей части отображение является растягивающим, поэтому переходные процессы в такой системе могут быть достаточно сложными. Однако при t→∞ все траектории стремятся к единственному аттрактору – устойчивой неподвижной точке, которая соответствует устойчивому периодическому движению. Предположим теперь, что при изменении параметра участок 3 поднимается над биссектрисой. При этом устойчивая и неустойчивая точки будут сближаться,

1 В данном случае значения управляющего параметра λ, представленные на рисунке соответствуют несколько другой форме записи логистического отображения (3.6):

xn+1 =1−λxn2 (иллюстрация взята из учебника [6])

затем сольются и исчезнут, т.е. исчезнет устойчивое периодическое движение (рис.9.?б). Если деформированное таким образом отображение оказывается в среднем растягивающим, то новые (более высокой крайности) устойчивые периодические точки не возникнут, и система будет двигаться хаотически. После слияния и исчезновения неподвижных точек (после исчезновения строго периодического движения) система вступает в длительный переходный процесс, соответствующий прохождению траекториями области вблизи только что исчезнувшего периодического движения («ламинарная» фаза). После прохождения этой области система движется хаотично («турбулентная» фаза) до тех пор, пока вновь не попадет в упомянутую область.

Рис. 9.? Модельное одномерное отображение, соответствующее (а) предтурбулентному режиму (r<rкр); (б) режиму перемежаемости при r>rкр

Таким образом, в рассмотренном выше примере переход к хаосу через перемежаемость связан со слиянием и последующим исчезновением устойчивой и неустойчивой периодических траекторий.

Мы уже указывали, что до открытия детерминированного хаоса считалось, что гидродинамическая турбулентность возникает в результате реализации сценария Ландау. Влияние высших пространственных гармоник на процесс ничтожно мало из-за вязкости, поэтому, начиная с Ландау, используют конечномерное рассмотрение.

Пусть ламинарному течению в фазовом пространстве соответствует особая точка – фокус. При некотором критическом значении числа Рейнольдса это состояние равновесия становится неустойчивым (особая