ПРАКТИКУМ Теор колеб и нел динамика , 3 курс / Переход к хаосу через последовательность бифю удвоения периода. ) / Лекция 9 из книги Путь в синергетику, Безручко Б.П. и др
.,.pdfЛ е к ц и я д е в я т а я
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС
Как возникает случайность в динамической системе. Неустойчивость фазовых траекторий динамических систем и динамический хаос. Сценарии перехода к хаосу. Универсальность перехода к хаосу по Фейгенбауму. Развитая вихревая турбулентность: спектр Колмогорова-Обухова. Уравнение вязкой жидкости (уравнение Навье-Стокса) и одномерное отображение: опять сценарий Фейгенбаума? Переход к хаосу через перемежаемость и разрушение квазипериодических колебаний.
«Хаос больше не бранное слово!» заголовками подобного типа недавно пестрели страницы научно-популярных и даже научных журналов. Открытие детерминированного (или динамического) хаоса, пожалуй, – самое яркое открытие последних лет в естествознании. Не менее удивительным оказалось и то, что в хаосе есть порядок, то, что существуют универсальные сценарии возникновения хаоса. Теория динамического хаоса, как отмечалось во водной лекции курса, является одной из тех дисциплин, которые создают фундамент синергетики, поэтому в нашем небольшом курсе, посвященном изложению основ синергетики, нельзя не остановиться на вопросах, посвященных проблеме хаотического поведения динамических систем.
Как возникает случайность в динамической системе. Нет нужды доказывать, что главная сила науки состоит в возможности предсказывать. Скажем, затмения можно предсказать на тысячу лет вперед на основе законов гравитации. Однако, почему-то нельзя точно предсказать погоду, хотя атмосферные течения подчиняются физическим законам столь же строго. Нельзя точно предсказать течение горного ручья и предсказать траекторию шара в биллиарде. В чем же дело? Почему в указанных явлениях теряется четкая связь между причиной и следствием? Почему появляется непредсказуемость? Ведь до последнего времени считалось, что точной предсказуемости, например, погоды можно добиться: нужно собрать и
Лекция девятая. Динамический хаос |
2 |
обработать побольше информации. Господствовали представления Лапласа, который еще в 1776 году написал так1. «Состояние системы природы в настоящем есть, очевидно, следствие того, каким оно было в предыдущий момент, и если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами Вселенной, то он сможет установить соответствующие положения, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом и будущем.
Физическая астрономия, область знания, которая делает величайшую честь человеческому уму, дает нам представление, хотя и неполное, чем был бы такой разум. Простота законов, по которым движутся небесные тела, и соотношения между их массами и расстояниями позволяют проанализировать их движение до определенной точки, и, чтобы определить состояние системы этих крупных тел в прошлых или будущих веках, математику достаточно того, чтобы их положение и скорость были получены из наблюдений в любой момент времени. Человек обязан этим мощности приборов, которыми он пользуется, и небольшому числу соотношений, которые он применяет в своих расчетах. Однако, незнание различных причин, вызывающих те или иные события, а также их сложность в сочетании с несовершенством анализа мешает нам достичь той же уверенности по отношению к огромному большинству явлений. Таким образом, существуют вещи, которые для нас неопределенны, вещи, более или менее вероятные, и мы стараемся компенсировать невозможность их узнать, определяя различные степени их достоверности. Получается, что слабости человеческого разума мы обязаны появлением одной из самых тонких и искусных математических теорий – науки о случае, или о вероятности». Итак, Пьер Симон Лаплас2 считал, что законы природы
1Цитата взята из замечательной обзорной работы по динамическому хаосу
Крайтчфилда Д.П., Фармера Дж.Д., Паккарда Н.Х. и, Шоу Р.С. [28].
2Пьер Симон Лаплас (28.03.1749-5.03.1827) – французский астроном, физик и математик, член Парижской и Петербургской АН. В двадцать два года стал профессором Военной школы в Париже, в 1790 - председателем палаты мер и весов. Он очень много сделал для высшего образования Франции, участвуя в создании Нормальной и Политехнической школ. В математике он оставил нам "оператор Лапласа", "уравнение Лапласа", "преобразование Лапласа", "интеграл Лапласа", "теорему Лапласа". Несомненно, что Лаплас – один из создателей теории вероятностей.
Удивителен по полноте его знаменитый пятитомный "Трактат о небесной механике". Он решил сложные задачи о движении планет и их спутников, Луны, создал теорию возмущений небесных тел, доказал устойчивость Солнечной системы в течение очень длительного времени, открыл причину ускорения в движении Луны. Им предложена гипотеза происхождения Солнечной системы.
Лекция девятая. Динамический хаос |
3 |
подразумевают полную предсказуемость и строгий детерминизм, а случайность - порождение несовершенства наблюдений. И более ста лет казалось, что в принципе он прав. Применение лапласовского детерминизма к социальным явлениям привело к известному философскому выводу об отсутствии свободной воли людей, о предопределенности их поведения.
Ощутимый удар лапласовскому детерминизму нанес Гейзенберг, который сформулировал принцип неопределенности в квантовой механике. Этот принцип утверждает, что нельзя одновременно точно измерить положение и скорость частицы. В частности, на основе этого принципа объясняется, почему процессы происходящие в ядре (например, радиоактивный распад) принципиально нельзя предсказать, сколько бы информации о нем не собрали. Но, когда речь идет о непредсказуемости поведения крупномасштабных систем, принцип неопределенности ни при чем. Нужно искать другие объяснения.
Итак, попробуем ответить на вопрос: «Как может появиться случайность, а следовательно, и непредсказуемость в детерминированной системе?» Может ли динамическая система (см. лекцию 3), описываемая уравнениями вида
dxi |
= f (x , x , x ...x ), i =1,...n, |
(9.1) |
|
|
|||
dt |
1 2 3 |
n |
|
|
|
|
|
в которые не входят случайные функции, давать такое решение xi=xi(t), что при произвольном выборе xi получаем случайную последовательность цифр? Не противоречит ли это известной теореме существования и единственности решения, которая гарантирует при заданных начальных условиях однозначное детерминированное поведение?
Если система обладает большим числом степеней свободы (например, газ в сосуде), то ситуация ясна: систему можно описать динамическим способом, но решение задачи становится нереальным. Дело в том, что мы не сумеем задать точно начальные координаты и скорости, допустим 1019 молекул, находящихся в 1 см3 газа. И, если даже зададим, то ЭВМ не под силу рассчитать траектории такого числа частиц с учетом их столкновений друг с другом. Но как может появиться случайность в системе с небольшим числом степеней свободы, например, в идеализированном биллиарде, в котором шары катятся по столу и сталкиваются без потери энергии?
Дело в неустойчивости всех или почти всех траекторий системы. Игрок ударяет кием по шару, что приводит к серии столкновений. Предположим,
Лаплас проводил исследования в области молекулярной физики, теплоты, акустики, электричества, оптики.
Лекция девятая. Динамический хаос |
4 |
что он полностью контролирует свой удар и хочет предсказать траекторию шара, по которому ударил. Так вот, если он пренебрежет даже гравитационным притяжением электрона на краю Галактики (очень слабое воздействие!), то его прогноз будет неправильным уже через минуту. Это объясняется тем, что шары не идеальны и малые отклонения от идеальной траектории, возникающие при каждом столкновении, нарастают, причем рост происходит экспоненциально, так же как рост численности популяции в модели Мальтуса (см. лекцию 3). Таким образом, даже самое малое воздействие достигает макроскопических размеров. Это одно из основных свойств хаоса. Наиболее четко эту мысль выразили Н.С.Крылов, а затем Макс Борн. Обсудим определение детерминированности, данное М.Борном.
Каждое физическое состояние системы измеряется всегда с малой, но конечной неточностью ε. Поэтому оно определяется не числом, а некоторым вероятностным распределением. Задача состоит в том, чтобы на основе известного начального распределения предсказать распределения в момент времени t. Если данное решение устойчиво (начальное возмущение не нарастает), то любое последующее состояние предсказуемо, и система может считаться детерминированной. Такое определение детерминированности по М. Борну отличается от традиционного определения изменением последовательности предельных переходов при ε→0 и t→∞. Т.е. обычно сначала область начального рассеяния стягивается в точку, а затем смотрится поведение при t→∞. Конечно, получается полная предсказуемость. Этот путь является нефизичным и заменяется другим: сначала при заданном ε определяется поведение траекторий и область конечного рассеяния при любом t, в том числе область рассеяния при t→∞, а затем уже начальное рассеяние устремляется к точке. Если область конечного рассеяния при t→∞ нарастает, то поведение системы непредсказуемо. Экспоненциальная неустойчивость траекторий, характерная для хаотической динамики, нанесла второй удар по детерминизму Лапласа. Мы уже указывали, что из соотношения неопределенности следует неопределенность начальных измерений. Существование хаоса гарантирует быстрое превышение пределов предсказуемости и опрокидывает «лапласовские надежды», что ошибки останутся ограниченными или будут хотя бы медленно расти, допуская в конечном счете долгосрочный прогноз.
Мы сослались на Н.С.Крылова и Макса Борна, но их работы как бы предвидел А.Пуанкаре, который еще в 1903 году написал следующее1. "Совсем незначительная причина, ускользнувшая от нашего внимания,
1 См. статью [28].
Лекция девятая. Динамический хаос |
5 |
вызывает значительный эффект, который мы не можем не заметить, и тогда мы говорим, что этот эффект вызван случаем. Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент». Согласитесь, пока все совпадает с Лапласом. Но вот, что он пишет далее. "Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам потребуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".
Поясним все сказанное выше на примерах уже известных нам фазовых портретов динамических систем с одной степенью свободы (рис.9.1)1. В случае рис. 9.1а, на котором приведен фазовый портрет линейного осцилятора с затуханием, система имеет единственное асимптотически устойчивое состояние равновесия – фокус. Движение системы здесь точно предсказуемо: любая область начальных отклонений ε стягивается в точку при t→∞. На рис. 9.1б представлен фазовый портрет автоколебательной системы. При t→∞ движение полностью определено – это периодическое движение с известными амплитудой и периодом; на фазовой плоскости ему соответствует устойчивый предельный цикл. При наличии разброса ε в начальных отклонениях остается неопределенной только фаза конечного движения: неизвестно, в какой точке траектория выйдет на предельный цикл. В случае системы, фазовый портрет которой изображен на рис. 9.1в, движение при t→∞ остается предсказуемым, если начальные отклонения принадлежат области ε1, однако их принадлежность области ε2 может уже привести к существенно разным движениям, хотя это еще не полная непредсказуемость.
Ситуация меняется кардинально, если траектории на фазовой плоскости перестают быть устойчивыми по Ляпунову. Дадим определение устойчивости для системы уравнений (9.1). В этой системе предполагается, что существуют непрерывные производные dfi/dxк (i,к=1,2,...n) и есть решение Xi(t) (i=1,2,...n), которое при t=t0 удовлетворяет начальным
1 Подробнее см. лекцию 4, посвященную колебаниям в динамических системах.
Лекция девятая. Динамический хаос |
6 |
условиям Xi(t0)=Xi(0) (i=1,2,...n). Решение Xi(t) системы уравнений (9.1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε>0 существует такое δ(ε)>0, что для всякого xi(t) из неравенств
| xi (t0 ) − Xi (t0 ) |<δ(ε), i =1,2,...n
при всех t >t0 следуют неравенства
| xi (t0 ) − Xi (t0 ) |<ε, i =1,2,...n |
(9.2) |
Иными словами, решения, близкие по начальным значениям, остаются близкими и при t ≥ t0 . Если уже при сколь угодно малом δ(ε)>0 хотя бы для
одного xi(t) неравенство (9.2) не выполняется, то решение Xi(t) называется
неустойчивым.
Рис. 9.1. Эволюция начальных отклонений на фазовой плоскости в случаях: а) устойчивого состояния равновесия (устойчивый фокус); б) предельного цикла; в) сепаратрисы, идущей из седла в седло
Тогда, например, в случае неустойчивого фокуса малый разброс начальных отклонений ε ведет к тому, что при достаточно большом t уже
Лекция девятая. Динамический хаос |
7 |
нельзя точно определить состояние системы: она может находиться в любой точке области σ (см. рис. 9.2).
Рис. 9.2. Эволюция начального распределения на фазовой плоскости в случае неустойчивого состояния равновесия
Таким образом, наличие неустойчивости для непредсказуемости необходимо. Но для возникновения хаоса этого еще недостаточно. Нужно еще «перепутывание» фазовых траекторий, а для этого необходимо, чтобы они оставались в конечной области фазового пространства, т.е. нужна возвращаемость фазовых траекторий. На фазовой плоскости такая возвращаемость есть, если точка, движущаяся по замкнутой траектории, близкой, например, к сепаратрисе, выходя из окрестности седла, возвращается в нее же. Но никакой случайности тут нет, потому что для получения хаотического движения надо, чтобы изображающая точка имела возможность двигаться по разные стороны от сепаратрисы – то по замкнутым траекториям, то уходя от них. Но на плоскости этого быть не может, поскольку фазовые траектории не «имеют права» пересекаться. Однако уже в трехмерном пространстве (система с полутора степенями свободы) подобные ситуации возможны.
Итак для возникновения хаоса в динамической системе необходимо, чтобы в фазовом пространстве системы:
•все (или почти все) соседние траектории внутри некоторой области разбегались;
•все они оставались внутри ограниченного фазового объема.
Начнем обсуждение динамики таких систем с консервативных динамических систем (т.е. систем без потерь, см. лекцию 3 и 4), для которых их фазовый объем (с некоторой плотностью) по определению сохраняется. Возьмем ансамбль траекторий с начальными условиями внутри фазового
Лекция девятая. Динамический хаос |
8 |
сохраняющегося объема – «капли фазовой жидкости». Предположим, что все переходные процессы закончились, и все траектории в этой области неустойчивы по Ляпунову. Какие траектории могут существовать внутри этой капли? Неустойчивые состояния равновесия, неустойчивые циклы и незамкнутые траектории, которые бесконечно блуждают внутри капли, но выйти из нее не могут. Из-за сохранения фазового объема любая незамкнутая траектория через достаточно большое время подойдет к себе самой сколь угодно близко. Но траектория неустойчива, поэтому из этой близости вовсе не следует, что следующий этап движения будет похож на предыдущий: малое возмущение будет нарастать, и дальнейший путь изображающей точки трудно предвидеть.
Для консервативных систем справедлива теорема Пуанкаре о возвращении, которая гласит, что почти каждая точка любой области фазового пространства, двигаясь по траектории, вернется в эту область.
Ситуация менее понятна, скажем, для автоколебательных систем (то есть систем с диссипацией; см. лекцию 4), у которых фазовый объем не сохраняется. Напомним, что критерием хаоса служит неустойчивость всех (или почти всех) траекторий, располагающихся в ограниченной области фазового пространства. Тогда «подозрительными на хаос» могут быть диссипативные динамические системы, у которых
•фазовое пространство неограничено;
•существует ограниченная область в фазовом пространстве, куда попадает и откуда не выходит изображающая точка для любых начальных условий;
•объем любой достаточно малой области фазового пространства
при сдвиге точек, составляющих эту область, по траекториям на время t>0 уменьшается.
Установившемуся движению диссипативной динамической системы отвечает аттрактор. С простыми аттракторами мы уже встречались (лекция 4): статическому режиму соответствует устойчивое состояние равновесия – фокус и узел (рис. 4.7); периодическому режиму – предельный цикл (рис. 4.8); квазипериодическому – тор (в простейшем случае двух частот – это частоты вращения по большому и малому кругам тора – частоты f1 и f2 на рис. 4.9).
Как же представить себе хаотическое движение в динамических системах и его геометрический образ? В трехмерном пространстве это сделать легко: траектории могут разбегаться по двумерной поверхности, а возвращаться, выйдя в пространство. Траектория при этом может выглядеть, например, как раскручивающаяся плоская спираль, хвост которой,
Лекция девятая. Динамический хаос |
9 |
возвращаясь к ее началу, вновь раскручивается (рис.9.3). Располагаясь таким образом, траектория заполняет весь аттрактор, нигде не замыкаясь, и ведет себя сложно и запутанно. Вспомним, что траектории, имеющие сколь угодно близкие начальные условия, ведут себя совершенно по разному. Тогда можно выделить два признака статистических черт в динамической системе:
1)в определенном смысле случайна почти каждая из незамкнутых траекторий, располагающихся внутри ограниченного объема;
2)весьма естественно появляется понятие ансамбля, типичное для теории вероятности (это ансамбль разнообразных отрезков траекторий
внутри рассматриваемого неустойчивого объема).
Объект в фазовом пространстве, к которому стремятся все или почти все траектории и на котором они неустойчивы, называется странным аттрактором1, в отличие от простых – состояний равновесия и предельных циклов.
Рис. 9.3. Пример |
возвращаю- |
|||
щейся |
неустойчивой |
траекто- |
||
рии, |
представляющей |
собой |
||
раскручивающуюся |
|
плоскую |
||
спираль, |
хвост |
|
которой, |
|
загибаясь к ее началу, вновь раскручивается
Вернемся к образу «капли фазовой жидкости». Пусть «капля» отличается по цвету от остальной жидкости внутри рассматриваемой области фазового пространства. Если в этой области есть устойчивый предельный цикл, то через некоторое время капля растянется вдоль предельного цикла и окрасит лишь узкий поясок в окрестности цикла. Если же в фазовом пространстве существует странный аттрактор, то капля будет непрерывно растягиваться, приобретая все более сложную форму и при t→∞
1Таким образом, странный аттрактор – объект, в котором траектории по одним направлениям разбегаются, по другим – притягиваются. Может быть удивление подобным поведением и породило прилагательное «странный»? Ведь в простых аттракторах есть только притяжение.
Лекция девятая. Динамический хаос |
10 |
она более менее равномерно окрасит всю область, т.е. перемешается с неокрашенной жидкостью.
Мы закончим этот раздел примером из замечательной статьи Крайтчфилда Д.П., Фармера Дж.Д., Паккарда Н.Х. и Шоу Р.С. [28], которую мы уже упоминали, и авторы которой еще будучи студентами старших курсов в Калифорнийском университете (Санта Крус, США) создали собственную исследовательскую группу по изучению хаотических систем. Интересно, что в студенческие годы они хотели применить свои знания в теории динамических систем, чтобы «обмануть» рулетку в игорных домах. Их пример весьма впечатляющий. «Хаос перемешивает орбиты в фазовом пространстве точно также, как пекарь месит тесто для выпечки хлеба. Представить себе, что происходит с близлежащими траекториями на хаотическом аттракторе поможет такой эксперимент. Добавим в тесто каплю синей пищевой краски. Вымешивание теста – это комбинация двух действий: его то раскатывают (при этом цветное пятно расширяется), то складывают. Поначалу пятно просто становится длиннее, затем образуются складки, и все это повторяется снова и снова.1 При ближайшем рассмотрении оказывается, что тесто состоит из многих слоев попеременно белого и голубого цвета. Уже через 20 шагов исходное пятно вытягивается более чем в 20 миллионов раз по сравнению с начальной длиной, а его толщина сокращается до молекулярных размеров. Синяя краска полностью перемешалась с тестом. Хаос действует точно также, только вместо теста он перемешивает фазовое пространство».
Сценарии перехода к хаосу. Пожалуй, не менее впечатляющим, чем само открытие детерминированного хаоса, было открытие сценариев перехода к хаосу, открытие порядка в хаосе.
Универсальность перехода к хаосу по Фейгенбауму. В 1976 году американский специалист в области математической и теоретической физики Митчел Фейгенбаум сделал открытие, состоящее в том, что сценарий перехода к хаосу через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода универсален для большого класса динамических систем. Что уже было известно к этому времени и могло стать источником вдохновения для Фейгенбаума?
Во-первых, еще в 1971 году было обнаружено интересное свойство решений уравнений типа xn+1=λf(xn): при изменении параметра λ существующее периодическое решение, имеющее период T, теряет
1Поясним, что складки образуются из-за того, что две траектории на хаотическом аттракторе, экспоненциально разойдясь, снова в конце концов окажутся вблизи друг от друга. Складки образуются внутри складок и так до бесконечности.