ПРАКТИКУМ Теор колеб и нел динамика , 3 курс / Переход к хаосу через последовательность бифю удвоения периода. ) / Задание

Работа №2.

Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода (квадратичное отображение).

Точечное отображение с квадратичным максимумом появилось в задачах популяционной биологии, но мировую популярность получило во второй половине 20 века , когда оно стало эталонным объектом нелинейной динамики , моделирущим переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода.

Рис.1. Одномерные квадратичное отображения с различным положением максимума (а); «дерево Фейгенбаума» для квадратичного отображения (б).

Почему это отображение привлекает к себе внимание? Квадратичный вид нелинейности – наиболее естественен и широко представлен в природе. Он отражается целым классом одномерных отображений , характеризующихся наличием у функции f квадратичного максимума (см. например, рис.1а).. Наиболее «именитый» представитель этого класса – логистическое отображение (рис.1а, кривая 1):

. (1)

В динамике популяций параметр r играет роль коэффициента размножения. К логистическому отображению сводится, например, и закономерность роста накоплений на счете в банке с «плавающим» процентом, введенным из соображений недопущения неограниченного обогащения вкладчиков [176]. Так, если – сумма на банковском счете в n-ом году, а годовой процент , то при простом проценте сумма на счете в следующий год составит и будет неограниченно расти. При этом малый начальный вклад не обещает существенных изменений благосостояния вкладчика в ближайшие годы по сравнению с хорошими перспективами того, на чей счет положена солидная начальная сумма. Если из «соображений справедливости» ввести плавающий процент, то получим отображение , которое заменой переменных . сводится к логистическому с параметром . Перечисление подобных примеров из разных областей знаний можно было бы продолжить. Любое отображение с многочленом f второго порядка, может быть сведено к форме (1) или к другой часто рассматривающейся форме, например, (рис.1а, кривая 2). Среди «заслуг» квадратичного отображения выделим следующие:

1) обнаружение на его примере сценария перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода и описание М. Фейгенбаумом универсальных закономерностей на пороге перехода к хаосу [1]. На рис.1б представлено известное «дерево Фейгенбаума» – зависимость установившихся после некоторого переходного процесса значений динамической переменной от значений параметра . Универсальными оказались, в частности, соотношения между бифуркационными значениями параметров в окрестности точки перехода к хаосу . Так, при бифуркационные значения параметра подчиняются правилу , где  = 4,6692016091…;

По рис.2 можно получить универсальные константы (см. последний раздел статьи [1]:

2) оно является базовым элементом для построения моделей нелинейных систем в виде цепочек и решеток и для иллюстрации явлений при периодическом и квазипериодическом внешнем воздействии ; в частности, на нем продемонстрированы явления гистерезиса и потери симметрии при быстрых переходах параметра через точку бифуркации .

Однако описанный переход к хаосу не является единственным [2] . В ряде ситуаций можно наблюдать еще два перехода – перез разрушение квазипериодических движений и через перемежаемость, а также возможны жесткие переходы, когда цепочка бифуркаций одного колебательного режима обрывается, а система попадает сразу в хаос на базе другого вида колебаний. Об этом и другие подробности науки о хаосе можно прочитать в приложенной подборке литературы [2-5] (см. файлы источников в папке этой работы).

Задание

Познакомьтесь с предлагаемой компьютерной программой по изучению квадратичного отображения и выполните с ее помощью задания, представив ответы на задания письменно в отчете .

1. Рассмотрите формулу отображения (в правом верхнем углу, вверху серой панели): здесь X – динамическая переменная, n= 0, 1, 2, 3,….. – дискретное время, А – управляющий параметр. Значение параметра можно менять, печатая число в окошке под формулой или с помощью расположенный справа от окна стрелок.

2. График отображения приведен слева голубой линией на плоскости по горизонтальной оси X, которой отложены Xn – значения переменной на предыдущем шаге итерирования¹, а по вертикальной оси Y – на последующем шаге (X_n+1). Размер графика можно менять регулируя с помощью стрелок пределы в окошках справа и слева от знаков X и Y или просто, печатая эти значения в окошки.

Задание 1.

Подберите пределы изменения переменных так , чтобы на экране был в основном правый верхний квадрант плоскости. Например: -0,2, +1,1. Исследуйте, график отображения при изменении параметра от А = 0 до 4, а в отчете опишите эту зависимоть. Для этого удобно «кликнуть» в окно «Автоматически» (поставить галочку), и менять А с помощью стрелок. Для очистки картинки нажимайте клавишу «Перечертить» на панели или Esc на клавиатуре (последнее иногда удобнее).

3) Диаграмма Ламерея и колебательные режимы.

Программа позволяет проводить итерации (находить последующие значения) на количество шагов вперед, указанное в соответствующем окошке. При этом между диагональю на плоскости и синим графиком появляются цветные изломанные линии построения диаграммы Ламерея. Например, желтыми представлены линии при установлении колебаний периода 1, когда значений переменной повторяются на каждом шагу; красным – для хаотических колебаний.

Установите А=3,2, поставьте для начала количество шагов равным 2 и проследите, чтобы в окошке «Пропуск» не было галочки. Поставьте точку в кружке рядом с надписью “Только по шелчку”. Теперь «Кликнув» на оси X, можно задать начальное значение переменной X₀, которое отображается в окне X_0, и увидеть два шага итерации на диаграмме. Начните из точки, лежащей рядом с началом координат, значение X в которой немного большей 0. Если затем “кликнуть” в точку, где закончилось предыдущее построение , можно продлить диаграмму еще на два шага и т.д. до установления режима колебаний периода 2 (через каждых два шага итерации все повторяется). В этом удобно убедиться, если увеличить число шагов, например до 100. Таким колебаниям переменной X на плоскости соответствует замкнутая в прямоугольник линия – цикл , а на графике зависимости X от n , который приведен под диаграммой, – изломанная линия , повторяющаяся через шаг дискретного времени.

Задание 2. Найдите этот цикл и запишите его размеры ( координаты двух значений X_n, включенных в цикл) при A=3,2 в отчет. Как изменятся размеры цикла, если А станет равным 3,4

Убедитесь, что из других начальных значений в пределах X₀=0-1.0 точка попадает на этот цикл - то есть, он является аттрактором (“притягивателем”). Из начальных значений X₀<0 и X₀>1,0 траектория убегает на бесконечность (за пределы графика) к расположенному там другому аттрактору. Области начальных значений переменной из которых точка попадает на аттрактор называется бассейном притяжения аттрактора. В программе предусмотрена клавиша «Отобразить» под надписью «Бассейны притяжения».Это можно делать и автоматически (без нажатия клавиши), если поставить галочку в соседнем окне «Автоматически».

Аттракторы удобно рассматривать, если на диаграмме пропустить (не изображать) достаточно большое число первых итераций. Для этого надо поставить галочку в окне «Пропуск» и указать сколько шагов надо пропустить (например, 80).

Задание 3. Убедитесь , что пределах бассейна притяжения точка всегда попадает на цикл. Для этого стартуйте из различных точек, наблюдая за аттрактором. Что при этом Вы видите?

В зависимости от значения параметра A в динамической системе с течением времени (при достаточно больших n) устанавливается определенный вид колебаний.

Задание 4. Определить, какие колебания устанавливаются в рассматриваемом отображении при  А = 2.5; 3,25; 3,5; 3,55; 3,6. Данные внесите в отчет. Для определения характера колебаний пользуйтесь как видом аттрактора, так и зависимостью переменной от времени – временной реализацией, рядом с которой на серой панели имеется компьютерная подсказка.

Значение управляющего параметра, при котором происходит качественное изменение характера установившихся колебаний (бифуркация) называют бифуркационным значением. Для определения бифуркационных значений удобна бифуркационная диаграмма - зависимость значений X через достаточно большой для установления колебаний количество шагов итерации от значения параметра А. При нажатии кнопки «Бифуркационная диаграмма» появляется черное окно на котором по горизонтали отложены значения параметра А ( они приводятся на панели для точек, указанных стрелкой-визиром), а по вертикали установившиеся значения X_n при n, больших значения, указанного в окне “Пропуск”. Если дважды «кликнуть» по диаграмме левой кнопкой мыши, восстановится плоскость переменных с графиком отображения и изображением установившихся колебаний.

Задание 5. Найдите значения параметров. соответствующие первой A1, второй A2 и третьей A3 бифуркациям удвоения периода, а также размеры элементов дерева и рассчитайте значения универсальных констатнтю

Задание 6. Что (какие режимы) наблюдается в области А>А_кр.

Литература

1. РяшкоЛ.Б. Модели динамики популяции : от порядка к хаосу. СОЖ , 2001, №10, с122.

2. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Изд. Наука

3. В.С. Анищенко. Детерминированный хаос. СОЖ

4. Д.И. Трубецков . Турбулентность и динаический хаос.

5. Безручко. Короновский, Храмов, Трубецковю Путь с синергетику, М., КомКнига, 2005, лекция 10.

1 Процесс нахождения последовательных значений (последующего по предыдущему) по такой формуле называют итерированием