Центральная (перспективная) проекция
Наиболее реалистично трехмерные объекты выглядят в центральной проекции из-за перспективных искажений сцены. Центральные проекции параллельных прямых, не параллельных плоскости проекции будут сходиться в точке схода. В зависимости от числа точек схода, т.е. от числа координатных осей, которые пересекает плоскость проекции, различаются одно, двух и трехточечные центральные проекции. Иллюстрация одно-, двух- и трехточечной центральных проекций куба приведена на рис.1.12.
Рис. 1.12: Одно-, двух- и трехточечная центральные проекции куба
Наиболее широко используется двухточечная центральная проекция.
Выведем матрицу, определяющую центральное проецирование для простого случая одноточечной проекции (рис. 1.13), когда плоскость проекции перпендикулярна оси Z и расположена на расстоянии d от начала координат. (Здесь используется удобная для машинной графики левосторонняя система координат).
Рис. 1.13: Центральная проекция точки P0 в плоскость Z = d
Начало отсчета находится в точке просмотра. Ясно, что изображения объектов, находящиеся между началом координат и плоскостью проекции увеличиваются, а изображения объектов, расположенных дальше от начала координат, чем плоскость проекции уменьшаются.
Из рис. 1.13 видно, что для координат (X1,Y1) точки P1, полученной проецированием точки P0(X,Y,Z) в плоскость Z = d (плоскость экрана) выполняются следующие соотношения:
|
|
X1 d |
= |
X Z |
, |
X1 d |
= |
X Z |
, X1 = |
X Z/d |
, Y1 = |
Y Z/d |
. |
Такое преобразование может быть представлено матрицей 4×4
Для перехода к декартовым координатам делим все на z/d и получаем:
|
[ X/(Z/d) Y/(Z/d) d 1 ]. |
Если же точка просмотра расположена в плоскости проекции, тогда центр проекции расположен в точке ( 0, 0, -d ). Рассматривая подобные треугольники, аналогично вышеописанному, можем получить:
|
X1 = |
X Z/d + 1 |
; Y1 = |
Y Z/d + 1 |
. |
Матрица преобразования в этом случае имеет вид:
|
|
Матрица M0 может быть представлена в виде:
|
M0 = T(0, 0, d) ·Mц ·T (0, 0, -d), |
т.е. преобразование проецирования выполняется для этого случая путем переноса начала координат в центр проецирования, собственно проецирования и обратного сдвига начала координат.
Специальные перспективные проекции
Специальные перспективные проекции - проекции на цилиндрические, конические, сферические и др. поверхности с последующим разворачиванием полученной проекции на плоскость.
Проекция на цилиндрическую поверхность позволяет показывать объекты с очень большими углами зрения - вплоть до круговой панорамы.
Трудности сферических проекций прежде всего в том, что сфера на плоскость без разрывов не развертывается. Если точки пространства проецируются на поверхность сферы лучами, проходящими через некоторую точку внутри сферы, то перепроецировать их отображения на плоскость можно множеством способов, например ортогональным проецированием параллельными лучами, способом развертки меридианов и др.
Среди этих различных способов выделяется стереографический; в нем со сферы на плоскость точки перепроецируются прямолинейными лучами, проходящими через полюс сферы, диаметрально противоположный тому, в котором сфера касается плоскости. При этом способе углы между пересекающимися линиями на сфере и их отображениями на плоскости равны.
Еще один вид специальных проекций - стереоскопические. Простейший вид стереоизображения образуется с помощью стереопары - двух перспективных проекций, построенных каждая для своего глаза. Принцип создания и расчета таких изображений показан на рисунке 1.14
.
Рис.1.14. Расчет стереопроекции