Арифметика в позиционных системах счисления
|
Любая позиционная система счисления определяется:
В основе правил арифметики лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример:
|
Фибоначчиева система счисления
|
В рассмотренных системах счисления "вес" единицы любого разряда, кроме первого, равен "весу" единицы предшествующего разряда, умноженному на постоянное основание системы р. Существуют нетрадиционные системы счисления, в которых основание не является постоянным. К нетрадиционным системам счисления относится фибоначчиева система счисления. Базисом фибоначчиевой системы счисления является последовательность 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ..., т.е. подряд идущие числа Фибоначчи. В качестве цифр в этой системе счисления используются только цифры 0 и 1. Примеры: 3710=34+3=100000100Ф 2510=21+3+1=1000101Ф |
Системы счисления
описание понятия
Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в десятичном числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись суммы 700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 * 102 + 5 * 101 + 7 * 100 + 7 * 10-1 = 757,7 Любая позиционная система счисления характеризуется: • алфавитом • основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. Десятичная {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Двоичная {0, 1} Шестнадцатеричная {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} Приняв за основание число 10, получим хорошо знакомую десятичную систему. Число 60 является основанием древней вавилонской шестидесятеричной системы, к которой восходит деление часа на 60 минут иугла на 360 градусов. Традицию считать дюжинами - в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов - распространили англосаксы. В Китае широко использовалась пятеричная система. За основание системы можно принять любое натуральное число - 2, 3, 4 и т. д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т. д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения an-1qn-1 + an-2qn-2 + ... + a1q1 + a0q0 + a-1q-1 + ... + a-mq-m, где ai - цифры системы счисления; n и m - число целых и дробных разрядов соответственно. Следовательно, Расширенная запись числа - это сумма произведений коэффициентов на основание системы счисления в степени позиции цифры в числе. Люди предпочитают десятичную систему счисления, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами: • для ее реализации нужны технические устройства c двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т. п.), а не, например, с десятью, как в десятичной; • представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво; • возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации; • двоичная арифметика намного проще десятичной. Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел. В компьютерах также используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из - за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмиричная и шестнадцатиричная системы. Числав этих системах читаются почти так же легко, как в десятичной, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 соответственно третья и четвертая степень числа 2). • 1.8.1 Перевод чисел в позиционных системах счисления • 1.8.2 Двоичная арифметика
Двоичная арифметика
описание понятия
• Сложение. В основе сложения лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение числа в нем становится равным или большим основания. Для двоичной системы счисления, это число равно двум. Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112. +1102 112 ______ 10012 Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим. 1102 = 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 610 112 = 1 * 21 + 1 * 20 = 310 610 + 310 = 910 Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число. 10012 = 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 910
• Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой. 0 - 0 = 0 0 - 1 = -1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0. Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов в старших разрядах. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 1102 и 112. -1102 112 _____ 112
• Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел: 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1. Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 1102 и 112. • Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 1102 и 112
Перевод
чисел в системах счисления
описание понятия
• Перевод чисел в десятичную систему счисления. Чтобы перевести число из любой системы счисления в десятичную систему счисления надо представить число в расширенной записи и сосчитать. Перевод числа из двоичной системы в десятичную 3 2 1 0 11012 = 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310 Перевод числа из восьмиричной системы в десятичную 2 1 0 1578 = 1*82 + 5*81 + 7*80 = 64 + 40 + 7 = 11110 Перевод числа из шестнадцатиричной системы в десятичную 2 1 0 1F3< SUB>16 = 1*162 + 15*161 + 3*160 = 49910 • Перевод целого числа из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления. При переводе целого десятичного числа в систему с основанием q его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока результат не станет меньше основания. Число в системе с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. В качестве примера рассмотрим перевод числа 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
10010112 1138 4B16 • Перевод правильной десятиччной дроби в любую другую позиционную систему счисления. При переводе правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q необходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей проиведения. Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной 0. Это значит, что сделан точный перевод. В противном перевод осуществляется до заданной точности. Достаточно того количества цифр в результате, которое поместится в ячейку. В качестве примера рассмотрим перевод числа 0,35 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
0, 010112 0, 2638 0, 5916 • Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления. Если использовать приведенные выше правила, то сперва необходимо числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления перевести в десятичную, а затем из десятиной в двоичную. Возможен непосредственный (прямой) перевод. Чтобы осуществить данный перевод, достаточно каждую цифру заменить эквиволентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр), воспользлвавшись нижеприведенной таблицей. С.с. Запись чисел в системе счисления 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D 537, 18 = 101 011 111, 0012 Согласно таблице 5 = 101; 3 = 011; 7 = 111; 1 = 001. 1A3, F16 = 1 1010 0011, 11112 Согласно таблице 1 = 1; A = 1010; 3 = 0011; F = 1111. • С помощью данной таблицы можно также осуществить перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную. 10 101 001, 101 1102 = 251, 568 Согласно таблице 10 = 2; 101 = 5; 001 = 1; 101 = 5; 110 = 6. 1010 1001, 1011 10002 = A9,B816 Согласно таблице 1010 = A; 1001 = 9; 1011 = B; 1000 = 8.
Система счисления
Описания ситуаций и событий
Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д