Вопрос 1.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Пример: римская система, используются латинские буквы.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются.

Пример:

CCXXXII=232 VI=6 IV=4 MCMXCVIII=1000+(-100+1000)+(-10+100)+5+1+1+1=1998

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

Количество используемых цифр называется основанием  позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Основание ее равно 10, т.е. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Пример:

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием p нужно иметь алфавит из р цифр. Обычно для этого при р<10 используют р первых арабских цифр, при р>10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно записывается как нижний индекс этого числа. В системе счисления с основанием р (р-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа р. Р единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в р-ичной системе счисления требуется р различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., р-1. Запись числа р в р-ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутой формой записи числа называется запись в виде А_р=±(а_n-1p^n-1+а_n-2p^n-2+...+а₀p⁰+а_-1p^-1+а_-2p^-2+...+а_-mp^-m), где А_р - само число, р - основание системы счисления, а_i - цифра данной системы счисления, n - число разрядов целой части числа,  m - число разрядов дробной части числа.

Пример:

Перевод целых чисел

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока получим неполное частное, меньшее делителя;

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Пример 1: Перевести число 37 из десятичной в двоичную систему счисления. (Ответ: 37₁₀=100101₂)

37:2=18 целых и 1 в остатке, значит, а₀=1 18:2=9 и 0 в остатке, значит, а₁=0 9:2=4 и 1 в остатке, значит, а₂=1 4:2=2 и 0 в остатке, значит, а₃=0 2:2=1 и 0 в остатке, значит, а₄=0, результат от деления - это а₅=1.

Теперь составим число а₅а₄а₃а₂а₁а₀=100101₂

Пример 2: Перевести число 315 из десятичной в восьмеричную систему счисления. (Ответ: 315₁₀=473₈) 315:8=39 и 3 в остатке, значит, а₀=3 39:8=4 и 7 в остатке, значит, а₁=7, результат от деления - это а₂=4.

Составляем число а₂а₁а₀=473₈

Пример 3: Перевести число 315 из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления. (Ответ: 315₁₀=13В₁₆)

315:16=19 и  11 в остатке, значит, а₀=11, что соответствует числу В в 16-ричной системе счисления 19:16=1 и 3 в остатке, значит, а₁=3, результат от деления - это а₂=1.

Составляем число а₂а₁а₀=13В₁₆

Пример 4: Для достаточно больших чисел можно использовать следующую запись алгоритма перевода: 

Перевод дробных чисел

1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной системе счисления;

2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления;

3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, записывая его, начиная с целой части первого произведения.

Пример: 0,1875₁₀=0,0011₂, 0,1875₁₀=0,14₈, 0,1875₁₀=0,3₁₆

Перевод смешанных чисел

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример: 315,1875₁₀=473,14₈=13B,3₁₆