Algebra2

Частный случай теоремы 5.6.3:

n=2, f(x) = x2 + px + q. Пусть x1; x2 корни f(x), тогда

{

1 = x1 + x2 = −p;

2 = x1 · x2 = q:

3 = x1x2x3 = −r

5.7Многочлены над числовыми полями

Рассмотрим случай, когда k = C. По основной теореме алгебры, поле

C является алгебраически замкнутым, поэтому многочлены над полем

C обладают любым из равносильных условий теоремы 5.6.1. В частности, неприводимыми над полем C являются многочлены только первой степени. Далее, любой многочлен положительной степени над полем C имеет, по крайне мере, один корень. Наконец, каноническое разложение любого многочлена f положительной степени над полем C имеет вид:

f(x) = (x − 1)k1 (x − 2)k2 : : : (x − t)kt ;

ãäå 1; 2; : : : ; t C.

Рассмотрим случай, когда k = R. Пусть = + i, ãäå ; R; ≠ ≠ 0. В этом случае говорят, что существенно комплексное число.

Предложение 5.7.1. Если существенно комплексное число, то многочлен (x − )(x − ) является квадратным трехчленом с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Доказательство. Действительно, (x − )(x − ) = x2 − ( + )x + = = x2 − 2 x + 2 + 2 R[x], тогда D = (−2 )2 − 4( 2 + 2) = −4 2 < 0, так как существенно комплексное число.

ТЕОРЕМА 5.7.1. Если существенно комплексное число является корнем многочлена f с действительными коэффициентами, то комплексно сопряженное число также является корнем этого много- члена и при том той же кратности, что и корень .

Доказательство. Пусть f(x) = nxn + : : : + 1x + 0, ãäå i R è

существенно комплексный корень f(x), òî åñòü f( ) = 0.

n n + : : : + 1 + 0 = 0:

Перейдем к комплексно сопряженным числам, получим

n n + : : : + 1 + 0 = 0:

Воспользуемся свойствами комплексно сопряженных чисел, а именно

n( )n + : : : + 1 + 0 = 0:

Это равенство указывает на то, что f( ) = 0 то есть является корнем многочлена f(x). Покажем, что кратность корня совпадает с кратностью корня . Пусть кратность равна k, а кратность равна l. Необходимо доказать, что k = l. Допустим противное, то есть k ≠ l. Пусть, например, k > l, тогда f = (x − )k(x − )lg(x), ãäå g( ) ≠ 0; g( ) ≠ 0. Тогда f(x) = [(x − )(x − )]l(x − )k−lg(x) = [(x − )(x − )]lg1(x), òî

Видно, что g1(x) = (x − )k−lg(x) имеет своим корнем положительной кратности, k − l > 0, но не имеет своим корнем . Это противоречит первому утверждению доказываемой теоремой. Аналогично приводит к противоречию предположение, что l > k.

Следствие 5.7.1.1. Существенно комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами попарно комплексно сопряжены.

ТЕОРЕМА 5.7.2 (о неприводимых многочленах над R). Над полем действительных чисел R неприводимыми являются многочлены первой степени и те и только те квадратные трехчлены, дискриминант которых отрицательный.

Доказательство. Пусть f(x) R[x] è deg f(x) > 3. Этот многочлен имеет в алгебраическом замыкании R = C имеет по крайне мере один корень . Если R , то f(x) = (x − )g(x), ãäå g(x) R[x] то есть многочлен f приводим над R. Если существенно комплексное число, то также будет корнем многочлена f. Получим

f(x) = (x − )(x − )g(x) = (x2 − 2Re · x + | |2)g(x):

В этом случае

f(x)

g(x) = (x − )(x − ) R[x]:

Видно, что f(x) снова приводим над R. Таким образом, любой многочлен f, степень которого deg f > 3, является приводимым над R.

Пусть f = ax2 +bx+c; a ≠ 0. Известно, что этот квадратный трехчлен

распадается на линейные множители f = a(x −x1)(x −x2) над R тогда и только тогда, когда его дискриминант D > 0. В этом случае, многочлен

f приводим над R. Следовательно, он будет неприводим над R тогда и только тогда, когда D = b2 − 4ac < 0. А многочлены первой степени являются неприводимыми над любым полем.

Следствие 5.7.2.1. Любой многочлен положительной степени над полем действительных чисел имеет каноническое представление вида:

f = (x − 1)k1 : : : (x − t)kt (x2 + 1x + 1)l1 : : : (x2 + rx + r)lr ;

ãäå ; i; i; j R; i2 − 4 i < 0; kj; li N ïðè i = 1; r; j = 1; t.

Следствие 5.7.2.2. Любой многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет, по крайне мере, один действительный корень.

Доказательство. В самом деле, по следствию 5.7.2.1 deg f = k1 + : : : +

+kt+2l1+: : :+2lr. По условию степень f число нечетное, следовательно k1 + : : : + kt нечетное число, значит ( 1 6 i 6 t) ki > 1, òî åñòü i

является действительным корнем многочлена f.