харламов тер-вер

Доказательство. Обозначим элементарный исход в схеме Бернулли двоичным вектором ! с n координатами. Положим !i = 1, если в i-м испытании произош¼л успех, и !i = 0 в противном случае. Если считать событием A событие ¾в n испытаниях произошло k успехов¿, то его вероятность

X

P(A) = P(!):

!2A

Элементарные исходы, благоприятствующие событию A, содержат k единиц и n k нулей, поэтому для всех ! 2 A

P(!) = pkqn k:

Всего этих исходов Cnk, следовательно,

P(A) = Cnk pkqn k:

Распределение, определяемое формулой Бернулли, называют биномиальным распределением.

Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли. Найд¼м это число (обозначим его k0) из следующих условий:

Pn(k0) > Pn(k0 + 1); Pn(k0) > Pn(k0 1):

Пут¼м преобразований получим двойное неравенство pn q 6 k0 6 pn + p;

которое, пользуясь выражением для q, можно переписать в виде

p(n + 1) 1 6 k0 6 p(n + 1):

Если крайние точки целые, то k0 имеет два значения.

Приближ¼нные вычисления в схеме Бернулли.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Реализована схема Бернулли, в которой вероятность успеха не близка ни к 0, ни к 1.

Тогда при n ! 1 при всех k и при всех

k np x = pnpq

выполняется соотношение

pnpq

'(x) Pn(k) ! 1;

ãäå

1 x2 '(x) = p e 2 :

2

10 ХАРЛАМОВ А. В.

Следствие. При n > 30 вероятность наступления k успехов

1

Pn(k) pnpq '(x):

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Реализована схема Бернулли, в которой вероятность успеха не близка ни к 0, ни к 1.

Тогда при n ! 1 при всех k и при всех a и b

где (x) называется функцией Лапласа.

Следствие. При n > 30 вероятность того, что число успехов будет между k1 è k2, равна

Справедливость этих двух теорем следует из центральной предельной теоремы, рассматриваемой далее.

Вероятность отклонения частоты успеха от вероятности успеха

числить четв¼ртый. В частности, можно вычислить интервал, в котором окажется число успехов с вероятностью :

n(p ") 6 k 6 n(p + "):

Теорема Пуассона. Реализована последовательность из n испытаний по схеме Бернулли таким образом, что в i-й серии i испы-

таний с вероятностью успеха pi. В каждой серии вероятность успеха постоянна, но уменьшается от серии к серии с такой ско-

ростью, что lim npn = . Тогда

n!1

lim Pn(k) = k e :

n!1 k!

Переходя к пределу при n ! 1, получим

Pn(k) ! k e : k!

Следствие. Если p близко к 0 или 1, то

Pn(k) k e ; k!

ãäå = np.

Вероятность того, что число успехов будет от 0 до k, равна

Åñëè pnpq > 3, то нужно пользоваться формулой Муавра-Лапласа, иначе формулой Пуассона.

12. Случайные величины

Определение. Минимальная -алгебра, образованная множеством интервалов вида [a; b), называется борелевской -алгеброй.

Определение. Случайной величиной называется числовая функция (!), заданная на множестве элементарных исходов , такая,

что прообраз любого борелевского множества является случайным событием.

Для задания случайной величины необходимо знать е¼ значения и вероятности, с которыми она принимает эти значения.

Определение. Законом распределения случайной величины на-

зывается вероятностная мера, заданная на множестве значений слу- чайной величины, определяемая так:

P (B) = Pf 2 Bg = Pf : (!) 2 Bg;

где B произвольное борелевское множество.

Случайная величина переводит вероятностное пространство экспериментов на вероятностное пространство на числовой прямой. Задание случайной величины позволяет отказаться от пространства экспериментов. Распределение вероятностей на множестве слу- чайных величин не однозначно.

13. Дискретные случайные величины

Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает не более чем сч¼тное множество значений.

Для задания дискретной случайной величины достаточно указать е¼ значения и соответствующие вероятности. Полученная при этом таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины:

Данный ряд является способом задания случайной величины, так как с его помощью можно вычислить вероятностную меру любого борелевского множества:

Определение. Законом распределения дискретной случайной величины называется ряд распределений, представленный в виде зависимости между значениями величины и вероятностями.

Примеры дискретных распределений.

Равномерное распределение.

Биномиальное распределение.

Pf = kg = Cnk pk (1 p)n k; k = 0; : : : ; n:

Гипергеометрическое распределение.

Геометрическое распределение. Вероятность того, что число повторений до первого успеха будет равно k (при вероятности успеха p),

Pf = kg = qk 1p; k 2 N:

nn

XX

2. Для распределения Пуассона:

14. Функция распределения случайной величины

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция вида

F (x) = Pf < xg = Pf! : (!) < xg:

Дискретная случайная величина имеет кусочно-постоянную функцию распределения. Разрывы происходят в точках значений слу- чайной величины, величина скачка равна е¼ вероятности.

Свойства функции распределения:

1.Функция распределения принимает значения в [0; 1].

2.Функция распределения является неубывающей.

Доказательство. Пусть x1 < x2.

F (x2) = Pf < x2g = Pf < x1 _ 2 [x1; x2)g =

=Pf < x1g + Pf 2 [x1; x2)g > F (x1):

3.Функция распределения является способом задания случайной величины: зная е¼, можно вычислить вероятностную меру любого борелевского множества.

Доказательство.

P [a; b) = Pf 2 [a; b)g = F (b) F (a):

Задание функции распределения на множестве случайных величин неоднозначно. Разные случайные величины могут иметь одинаковую функцию распределения.

4. Pf > xg = 1 F (x).

5. lim F (x) = 1.

x!1

6. lim F (x) = 0.

x! 1

Доказательство. Положим для всех n 2 N

An = f < ng:

Любая неубывающая, непрерывная слева, равная 1 в +1 и 0 в 1 функция может быть функцией распределения некоторой случайной величины.

15. Абсолютно непрерывные случайные величины

Определение. Случайная величина называется абсолютно непре-

рывной, если существует функция p (x) (называемая плотностью

распределения случайной величины) такая, что функция распределения случайной величины представима в виде

x

Z

F (x) = p (t) dt:

1

Свойства плотности распределения:

1.Плотность распределения неотрицательна.

2.Плотность распределения нормирована:

+1

Z

p (x) dx = F (+1) = 1:

1

3.В точках непрерывности функции распределения p (x) = F 0(x).

4.Плотность распределения случайной величины является способом задания абсолютно непрерывной случайной величи- ны: зная плотность распределения, можно вычислить вероятностную меру любого борелевского множества.

Доказательство.

5.Вероятностная мера точки в абсолютно непрерывном случае равна нулю.

Доказательство.

Равномерное распределение. координата случайно брошенной на отрезке [a; b] точки. Функция распределения имеет вид

:

Плотность распределения

(

1 ; x 2 [a; b];

p (x) = b a

0; x 2= [a; b]:

Показательное распределение. Плотность распределения

(

0; x < 0; p (x) = e x; x > 0:

Функция распределения

Показательное распределение обладает свойством нестарения :

=1 F (u + t) = e t = 1 F (t) = Pf > tg: 1 F (u)

Справедливо обратное утверждение: если имеет место свойство нестарения, то случайная величина имеет показательное распределение.

Нормальное распределение Гаусса. Плотность распределения имеет вид

При a = 0, = 1 распределение называется стандартным нормальным. В этом случае

1 F (x) = (x) + 2:

16. Многомерные случайные величины

Определение. Многомерной случайной величиной (случайным вектором) размером n называется упорядоченная последовательность

случайных величин

= ( 1; : : : ; n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве ( ; A; P).

Далее будем рассматривать векторы

= ( 1; 2).

Определение. Функцией распределения случайного вектора

= ( 1; 2)

называется функция

F (x1; x2) = Pf 1 < x1; 2 < x2g:

Свойства функции распределения случайного вектора:

4.Вероятностная мера борелевского прямоугольника вычисляется через плотность распределения случайного вектора:

5. По плотности распределения случайного вектора однозначно определяется плотность распределения его координат:

Доказательство.

Равномерное распределение в прямоугольнике = [a; b) [c; d):

Определение. Случайный вектор называется дискретным, если он принимает не более чем сч¼тное множество значений.

Как и в одномерном случае, для задания дискретного случайного вектора достаточно указать его значения и соответствующие им вероятности:

f g

X

P = zi = pi; pi > 0; pi = 1:

i

Вероятностная мера борелевского прямоугольника

f 2 g

X

P = pi:

i