2. Свойства собственных функций

В этой главе доказывается, что система собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля полна и образует ортогональный базис в . Теоремы о полноте и о разложении играют важную роль при решении различных задач математической физики методом разделения переменных.

Теорема 2.1. (1) Система собственных функций краевой задачи полна в .

(2) Пусть , - абсолютно непрерывная функция. Тогда

(2.1)

причем ряд сходится равномерно на

(3) Для ряд (2.1) сходится в , причем имеет место равенство Парсеваля

.

(2.2)

Доказательство:

1. Обозначим

и рассмотрим функцию

.

Функция называется функцией Грина задачи . Она является ядром интегрального оператора обратного к оператору Штурма-Лиувилля, то есть функция дает решение краевой задачи

(2.3)

это легко проверяется дифференцированием. В самом деле

Так как , то

,

,

Учитывая (1.6) и используя теорему 1.2 вычисляем

В силу (1.8) имеем

(2.4)

2. Пусть функция такова, что

.

Тогда с учетом (2.4) и, следовательно, при каждом фиксированном функция является целой по λ. Получим теперь оценку для . Ранее было получено

Используя представление для , вычисляем при :

Получаем

.

Используя принцип максимума модуля для аналитических функций и теорему Лиувилля, заключаем, что . Отсюда, и из (2.3) следует, что на . Таким образом, утверждение (1) доказано.

3. Пусть теперь - произвольная абсолютно непрерывная функция. Так как и - решения уравнения (1.1), то функцию можно преобразовать к виду

Интегрируем дважды по частям слагаемые со вторыми производными

.

Подстановки в точках , , дают

,

,

.

Исходя из этого получаем

(2.5)

где

Используя (1.9), (1.10) и (1.18), получаем при фиксированном и достаточно большом

(2.6)

Покажем, что

(2.7)

Предположим сначала, что абсолютно непрерывна на . В этом случае интегрирование по частям дает

В силу (1.9), (1.10) и (1.18) получаем

Пусть теперь . Зафиксируем и выберем абсолютно непрерывную функцию так, что

где

Тогда при имеем

Следовательно, существует такое, что при В силу произвольности приходим к (2.7).

Рассмотрим контурный интеграл

,

где (с обходом против часовой стрелки). Из (2.5)-(2.7) вытекает

(2.7)

С другой стороны, можем вычислить с помощью теоремы о вычетах. В силу (2.4) имеем

.

Сравнивая это с (2.8), приходим к (2.1), причем ряд сходится равномерно на , то есть утверждение (2) доказано.

4. Система собственных функций полна и ортогональна в; поэтому она образует ортогональный базис в и справедливо равенство Парсеваля (2.2).

2. Операторы преобразования.

Важную роль в теории обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля играют так называемые операторы преобразования. Они связывают решения двух различных уравнений Штурма-Лиувилля при всех . В этой главе мы построим операторы преобразования, которые нам потребуются в следующей главе.

Теорема 3.1. Для функции имеет место представление

,

(3.1)

где - вещественная непрерывная функция, причем

(3.2)

Доказательство:

Из (1.11) при вытекает, что функция является решением следующего интегрального уравнения

.

(3.3)

Так как

,

то (3.3) примет вид

,

и, следовательно,

.

Метод последовательных приближений дает

,	(3.4)
.	(3.5)

Покажем по индукции, что

(3.6)

где функции не зависят от .

Вычислим , используя соотношение

,

получим

Замена переменных во втором интеграле дает

.

Меняя порядок интегрирования во втором интеграле получаем

Таким образом (3.6) верно, при , где

(3.7)

Предположим теперь, что (3.6) верно при некотором . Тогда, подставляя (3.6) в (3.5), вычисляем

Замена переменных и соответственно приводят к равенству

Меняя порядок интегрирования, получаем

где

(3.8)

Подставляя (3.6) в (3.4), приходим к (3.1), где

(3.9)

Из (3.7) и (3.8) вытекает

.

В самом деле, (3.7) дает при :

.

Далее, если при некотором оценка для верна, то в силу (3.8) имеем

Таким образом, ряд (3.9) сходится абсолютно и равномерно при , и функция является непрерывной. Более того, из (3.7)-(3.9) следует, что гладкость функции совпадает с гладкостью функции . Так как согласно (3.7) и (3.8)

,

то приходим к (3.2). □

Оператор Т, определяемый формулой

,

отображает функцию , которая является решением уравнения с нулевым потенциалом, в функцию , которая является решением уравнения (1.1) с некоторым потенциалом (то есть ). Оператор Т называется оператором преобразования для . Важно, что ядро не зависит от λ.

Теорема 3.2. Для функций и имеют место представления:

	(3.10)
	(3.11)

где и - вещественные непрерывные функции с той же гладкостью, что и функция , причем

	(3.12)
	(3.13)

Доказательство:

Функция удовлетворяет уравнению (1.24)

Так как , то

,

и, следовательно,

.

Метод последовательных приближений дает

,	(3.14)
	(3.15)

Покажем по индукции, что

(3.16)

где функции не зависят от .

Вычислим , используя соотношение

,

получим

Замена переменных во втором интеграле дает

.

Меняя порядок интегрирования во втором интеграле получаем

Таким образом (3.16) верно, при , где

(3.17)

Предположим теперь, что (3.16) верно при некотором . Тогда, подставляя (3.16) в (3.15), вычисляем

Замена переменных и соответственно приводят к равенству

Меняя порядок интегрирования, получаем

где

(3.18)

Подставляя (3.16) в (3.14), приходим к (3.10), где

(3.19)

Из (3.17) и (3.18) вытекает

.

Доказательство, аналогично, доказательству того, что из теоремы 3.1.

Таким образом, ряд (3.14) сходится абсолютно и равномерно при , и мы приходим к (3.10) и (3.13). Причем функция является непрерывной. Более того, из (3.17)-(3.19) следует, что гладкость функции совпадает с гладкостью функции .

Соотношение (3.11) может быть получено прямо из (3.1) и (3.10):

где .

Полагая здесь , приходим к (3.12). □