СОДЕРЖАНИЕ
|
Введение…………………………………. |
.…………………………………………...3 |
|
….………………………………………...5 |
|
…………………………………………..17 |
|
….……………………………………….23 |
|
….……………………………………….31 |
|
Список использованных источников…. |
….……………………………………….36 |
ВВЕДЕНИЕ
Обратные задачи спектрального анализа состоят в восстановлении дифференциальных операторов по их спектральным характеристикам. Подобные задачи играют важную роль не только в различных разделах математики, но и имеют много приложений в естествознании и технике.
Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач получены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
|
|
(1) |
.Первые исследования по спектральной теории операторов вида (1) были выполнены в связи с уравнением, описывающим колебание струны в XIX веке, а интенсивное развитие данная теория для различных классов операторов получила век спустя. Что касается обратных спектральных задач, то основные результаты и методы здесь были получены во второй половине XX века. Созданные методы позволили решить целый ряд важных прикладных задач в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно увеличивается благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время интенсивно развивается теория обратных задач во всем мире.
Целью данной курсовой работы является описание метода Гельфанда-Левитана. Метод позволяет получить алгоритм решения обратной задачи для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля, определяемого уравнением
и краевыми условиями
где λ – спектральный параметр; q(x),
h и H
вещественны;
.
Курсовая работа состоит из введения,
четырех глав и списка использованных
источников. В первой главе изучаются
основные спектральные характеристики
краевых задач Штурма-Лиувилля на конечном
интервале. В частности, доказана теорема
о существовании и асимптотическом
поведении собственных значений и
собственных функций. Во второй главе
исследуются свойства собственных
функций. Доказано, что система собственных
функций является полной и образует
ортогональный базис в пространстве
.
В третьей главе строятся операторы
преобразования, которые являются
эффективным инструментом в спектральной
теории операторов Штурма-Лиувилля. В
четвертой главе приведен алгоритм
решения обратной задачи методом Гельфанда
– Левитана, который позволяет свести
данную задачу к линейному интегральному
уравнению.
-
Поведение спектра
Рассмотрим краевую задачу L=L(q(x), h, H):
|
|
(1.1) |
|
(1.2) |
Здесь λ – спектральный параметр; q(x),
h и H
вещественны;
.
Оператор
называется оператором Штурма-Лиувилля,
а функцию q мы в
дальнейшем будем называть потенциалом.
Нас интересуют нетривиальные решения краевой задачи (1.1)-(1.2)
Определение 1.1. Те значения параметра λ, для которых L имеет нетривиальные решения называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения называются собственными функциями. Множество собственных значений называется спектром L.
В этом разделе мы получим свойства спектра краевой задачи L и изучим асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций.
Пусть
являются решениями уравнения (1.1) при
начальных условиях
При каждом фиксированном x
функции
,
,
,
являются целыми аналитическими функциями
по λ. Ясно, что
|
|
(1.3) |
Обозначим
|
|
(1.4) |
,где
Согласно формуле Остроградского-Лиувилля,
вронскиан
не зависит от x. Функция
называется характеристической функцией
краевой задачи L.
Подставляя
и
в (1.4)
получаем
|
|
(1.5) |
Функция
является целой по λ и имеет не более
счетного множества нулей
.
Теорема 1.1. Нули
характеристической функции совпадают
с собственными значениями краевой
задачи L. Функции
и
являются собственными функциями, и
существует последовательность
такая, что
|
|
(1.6) |
Доказательство:
-
Пусть
является нулем функции
.
Тогда, в силу (1.3)-(1.5)
,
и функции
,
удовлетворяют краевым условиям (1.2).
Следовательно,
- собственное значение, а
,
- соответствующие собственные функции. -
Обратно, пусть
является собственным значением L,
и пусть
- соответствующая собственная функция.
Тогда
Ясно,
что
(если бы
,
то
,
и по теореме единственности решения
задачи Коши
).
Без ограничения общности полагаем
.
Тогда
,
и следовательно
.
Поэтому (1.5) дает
.
Мы также доказали, что каждому собственному
значению соответствует только одна (с
точностью до постоянного множителя)
собственная функция. □
Обозначим
|
|
(1.7) |
.
Числа
называются весовыми числами, а числа
называются спектральными данными
краевой задачи L.
Лемма 1.1. Справедливо соотношение
|
|
(1.8) |
,
где числа
определяются формулой (1.6) и
.
Доказательство:
Так как
,
,
то
и, следовательно, с учетом (1.5) имеем
При
получаем
используя (1.6) и (1.7) получаем,
|
|
□ |
.
Теорема 1.2. Собственные значения
и собственные функции
,
- вещественны. Все нули
являются простыми, то есть
.
Собственные функции соответствующие
различным собственным значениям
ортогональны в
.
Доказательство:
Пусть
и
- собственные значения с собственными
функциями
и
соответственно. Вычисляем
так как
,
,
то подстановка исчезает. Поэтому
.
Так как
,
то
и так как
,
то имеем
.
Далее, пусть
- невещественное собственное значение
с собственной функцией
.
Тогда
Так как
и
,
и
вещественны, то
то есть
- также собственное значение с собственной
функцией
.
Так как
,
то
что невозможно. Таким образом, все
собственные значения
задачи L вещественны.
И, следовательно, собственные функции
,
также вещественны, так как
,
,
то в силу (1.8) имеем
.
□
Пример 1.1. Пусть
,
и пусть
.
Тогда (1.1) - (1.2) примет вид:
Общее решение этого уравнения имеет вид:
Замечание 1.1. Пусть здесь и в дальнейшем
,
.
Покажем, что
,
.
В самом деле, пусть
.
Тогда
.
Так как
,
то
.
Аналогично для
Лемма 1.2. При
верны следующие асимптотические оценки:
|
|
(1.9)
(1.10) |
равномерно по
.
и
символы Ландау.
Доказательство:
Рассмотрим уравнение
Метод вариаций произвольных постоянных дает
|
|
(*) |
Из (*) следует
Функция
является решением задачи Коши
|
|
(**) |
Применим (*). У нас
.
Тогда
|
|
(1.11) |
Пусть верно (1.11). Тогда
|
|
(1.12) |
и следовательно, верно (**).
Вспомним:
,
.
Умножим (1.11) на
:
Обозначим
.
При
имеем
,
или
при достаточно больших
.
Поэтому
или
.
Подставляя эту оценку в правую часть (1.11) и (1.12) получаем
и приходим к (1.9).
Аналогично получается и (1.10). Заметим, что (1.10) может быть получено, используя (1.9). В самом деле,
.
Рассмотрим функцию
Тогда
,
.
Следовательно,
Поэтому (1.9) верно и для
.
Так как
,
то получаем (1.10).
□
Теорема 1.3. Краевая задача
имеет
счетное множество собственных значений
.
При этом
|
|
(1.13) |
|
|
(1.14) |
где
Здесь и в дальнейшем один и тот же символ
обозначает различные последовательности
из
,
а символ
обозначает различные положительные
константы, не зависящие от
,
и
.
Доказательство:
-
Подставляя асимптотику для
из (1.9) в правые части (1.11) и (1.12), вычисляем
|
|
(1.15) |
где
Согласно, (1.5) ,
.
Следовательно, в силу (1.15), имеем
|
|
(1.16) |
где
.
-
Обозначим
,
покажем, что
|
|
(1.17) |
|
|
(1.18) |
при достаточно большом
.
Пусть
.
Достаточно доказать (1.17) для области
Положим
.
Пусть
.
При
имеем
.
Так как
,
то при
,
(так как
)
Таким образом (1.17) доказано. Далее,
используя (1.16), получаем для
и, следовательно, (1.18) доказано.
-
Обозначим
.
В силу (1.16)
.
Согласно (1.17),
при достаточно больших
.
Тогда по теореме Руше число нулей функции
внутри
совпадает с числом нулей функции
,
то есть равно
.
Таким образом, в круге
расположено
собственных значений краевой задачи
.
Применяя теперь теорему Руше к кругу
,
заключаем, что при достаточно больших
в
лежит ровно один ноль функции
,
а именно
.
В силу произвольности
имеем
|
|
(1.19) |
Подставляя (1.19) в (1.16), получаем
и, следовательно
|
|
(1.20) |
Тогда
,
то есть
.
С помощью (1.20), вычисляем более точно
то есть (1.13) доказано. Подставляя (1.13) в
(1.15), приходим к (1.14), где
|
|
(1.21) |
Следовательно,
,
и теорема 1.3 доказана. □
В силу (1.6) при
имеем
.
Тогда, используя (1.7), (1.14), (1.21), получаем
|
|
|
Через
обозначим пространство функций
,
таких, что функции
абсолютно непрерывны и
.
Теорема 1.4. Задание спектра
однозначно определяет характеристическую
функцию
по формуле
|
|
(1.22) |
Доказательство:
Из (1.16) вытекает, что
является целой по
функцией порядка ½ и, следовательно, по
теореме Адамара
однозначно определяется своими нулями
с точностью до постоянного множителя:
|
|
(1.23) |
Рассмотрим функцию
.
Тогда
.
Учитывая (1.13) и (1.16), вычисляем
и, следовательно,
Подставляя это в (1.23), приходим к (1.22). □
Теорема 1.5. Функция
удовлетворяет следующему интегральному
уравнению:
|
|
(1.24) |
Доказательство:
Рассмотрим уравнение
Метод вариаций произвольных постоянных дает
|
|
(*) |
Из (*) следует
Функция
является решением задачи Коши
|
|
(**) |
Применим (*). У нас
.
Тогда
Пусть верно (1.24). Тогда
|
|
|
и, следовательно, верно (**).
□