
- •6. Магнитное поле
- •6.1. Магнитное поле в вакууме
- •6.2. Основные свойства магнитного поля
- •6.3. Силы, действующие на проводник стоком
- •6.4. Магнитное поле в веществе
- •6.4.1. Намагничение вещества, намагниченность
- •6.4.2. Токи намагничивания I′.
- •6.4.3. О расчете поля b в магнетике.
- •6.4.5. Вектор h.
- •2) Связь между векторами j и h.
- •4) Когда внутри магнетика токи намагничивания j′ равны нулю?
- •5) Граничные условия для b и h на границе раздела двух однородных магнетиков.
- •6) Преломление линий вектора b и h
- •7) Ферромагнетики, гистерезис.
6.4.2. Токи намагничивания I′.
Как мы уже выяснили, намагничивание вещества обусловлено преимущественной ориентацией и индуцированием (гиромагнитный эффект) магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении. Это же можно сказать и об элементарных круговых токах, связанных с каждой молекулой (ее магнитным моментом). Эти токи называют молекулярными токами. Такое поведение молекулярных токов приводит к появлению макроскопических токов I′, называемых токами намагничивания. Они могут быть как объемными (внутри вещества), так и поверхностными. Обычные токи, текущие по проводникам, связаны с перемещением в веществе носителей тока (зарядов), их называют токами проводимости.
Что
бы понять, как возникают токи намагничивания,
представим себе сначала цилиндр из
однородного
магнетика
(магнитные свойства постоянны во всем
объеме вещества),
намагниченность J
которого однородна и направлена вдоль
его оси (цилиндра). В таком случае,
молекулярные токи в намагниченном
магнетике ориентированы в плоскости
перпендикулярной J
и, соответственно оси цилиндра. На рис.17
показана часть цилиндра с его сечением
перпендикулярным оси цилиндра. В сечении
нанесены молекулярные круговые токи.
Все они одинаковы как по величине
кругового тока (отражаем одинаковой
жирностью круговых Рис.17
линий тока), так и по радиусу, что отражает однородность намагниченности магнетика. Из рисунка видно, что у соседних молекул токи в местах их соприкосновения текут в противоположном направлении и макроскопически взаимно компенсируют друг друга. Нескомпесированными остаются только те токи, которые выходят на боковую поверхность цилиндра. Эти токи и образуют макроскопический поверхностный ток намагничивания I′, циркулирующий по боковой поверхности цилиндра. Ток I′ возбуждает такое же макроскопическое магнитное поле, что и молекулярные токи вместе взятые.
Теперь
пусть магнетик неоднородный, например,
только в направлении оси X
и вектор его намагниченности направлен
параллельно оси Z.
Тогда, как показано на рис.18, молекулярные
токи в намагниченном магнетике
ориентированы в плоскости XY,
перпендикулярной, соответственно,
вектору J.
Указанная неоднородность магнетика
отражена возрастающей в направлении
оси X
силой молекулярных токов, соответствующей
толщине их линий. Направление и сила
молекулярных токов указывает на то, что
вектор J
направлен за плоскость рисунка и растет
по модулю с увеличением координаты X.
Из рис.18 видно, что в точках касания
молекулярных токов компоненты токов
параллельные оси X
полностью компенсируют друг друга, а
параллельных оси Y
нет и, следовательно, внутри неоднородного
магнетика возникает макроскопический
объемный ток намагничивания I′,
в данном случае, текущий в направлении
оси Y.
Соответственно говорят о линейной j′
(А/м2)
и поверхностной i′
(А/м) плотностях тока намагничивания.
Рис. 18
6.4.3. О расчете поля b в магнетике.
Можно утверждать, что вклад от намагниченного магнетика в поле B равен вкладу, который был создан тем же распределением токов намагничивания I′ в вакууме. То есть в соответствии с законом Био-Савара это поле B′ и, соответственно, результирующее поле B будет определяться выражением (6.23):
B = B0 + B′.
Напомним, что B0 – поле, создаваемое сторонними токами, например, токами проводимости.
Однако, неприятность в том, что распределением токов намагничивания I′ и, соответственно поля B′, зависит не только от свойств и конфигурации магнетика, но и от искомого поля B. Поэтому задача о нахождении поля B в магнетике в общем случае непосредственно решена быть не может. Поэтому, так же как и для P, устанавливаем связь между током намагничения I′ и определенным свойством поля вектора J, а именно его циркуляцией.
6.4.4. Циркуляция вектора J.
Оказывается, что для стационарного случая циркуляция намагниченности J по произвольному замкнутому контуру Г равна алгебраической сумме токов намагничивания I′, охватываемых контуром Г:
=I′,
(6.31)
Г
где
I′
=
, причем интегрирование
проводится по произвольной поверхности,
натянутой на контур Г.
Докажем эту теорему. Для этого вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых контуром Г.
Натянем
на контур Г
произвольную поверхность S.
Из рис.19 видно, что внутри контура большая
часть молекулярных токов, которые
пересекают поверхность S
дважды – входят и выходят, пересекая
последнюю, следовательно, вклад от них
в результирующий искомый ток равен
нулю. Другая часть токов овивает контур
Г,
пересекая поверхность S
только один раз. Эти молекулярные токи
и создают макроскопический ток
намагничивания I′,
пронизывающий поверхность S.
Определим его. Рис.19.
Пусть
для простоты магнетик однородный.
Тогда можно положить, что каждый
молекулярный ток и площадь им охватываемая
равны Iм
и Sм
, соответственно. Теперь рассмотрим
малый элемент длиной
dl
контура Г,
который показан на рис.20. Положим, что
вектор намагниченности J
в месте нахождения элемента dl
направлен под углом α
к элементу dl,
направление которого (на рисунке –
слева на право) определяется, выбранным
направлением обхода по контуру Г.
Напомним, что Рис.20.
площади Sм молекулярных токов перпендикулярны J. Из рисунка видно, что элемент dl контура Г овивают те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом ∆V = Sмcosα dl. Все эти молекулярные токи пересекают поверхность S только один раз. Их вклад в ток намагничивания dI′ = Iмn∆V , где n концентрация молекул. Подставляя сюда выражение для ∆V, получим dI′ = IмSмn cosα dl = Jcosα dl = Jdl (в этой записи учли, что IмSм = pm – модуль магнитного момента отдельного молекулярного тока, а IмSмn = J – модуль магнитного момента единицы объема вещества). Проинтегрировав полученное выражение dI′ = Jdl по всему контуру Г, получим выражение (6.31). Таким образом, теорема доказана.
Необходимо
отметить, что в случае неоднородного
магнетика ток намагничивания пронизываю
всю поверхность
S
(смотри для сравнения рисунки рис.20 и
рис.18), а не только у ее границы, прилегающей
к контуру Г.
Именно поэтому этот ток и можно (нужно)
представить как I′
=
, где интегрирование ведется по всей
поверхностиS,
ограниченной контуром Г.
Дифференциальная форма записи уравнения (6.31) имеет вид:
rotJ
= j′
или
[J]
= j′
, (6.32)
т.е. ротор вектора J равен плотности тока намагничивания в той же точке пространства.
Заметим, поле J – вектора намагниченности магнетика определяется всеми токами, как токами I′ , так и токами проводимости I (сторонними токами). (Но! в некоторых случаях – определенная симметрия, J может определяться только I′.)