- •6. Магнитное поле
- •6.1. Магнитное поле в вакууме
- •6.2. Основные свойства магнитного поля
- •6.3. Силы, действующие на проводник стоком
- •6.4. Магнитное поле в веществе
- •6.4.1. Намагничение вещества, намагниченность
- •6.4.2. Токи намагничивания I′.
- •6.4.3. О расчете поля b в магнетике.
- •6.4.5. Вектор h.
- •2) Связь между векторами j и h.
- •4) Когда внутри магнетика токи намагничивания j′ равны нулю?
- •5) Граничные условия для b и h на границе раздела двух однородных магнетиков.
- •6) Преломление линий вектора b и h
- •7) Ферромагнетики, гистерезис.
6.4.2. Токи намагничивания I′.
Как мы уже выяснили, намагничивание вещества обусловлено преимущественной ориентацией и индуцированием (гиромагнитный эффект) магнитных моментов отдельных молекул в одном направлении. Это же можно сказать и об элементарных круговых токах, связанных с каждой молекулой (ее магнитным моментом). Эти токи называют молекулярными токами. Такое поведение молекулярных токов приводит к появлению макроскопических токов I′, называемых токами намагничивания. Они могут быть как объемными (внутри вещества), так и поверхностными. Обычные токи, текущие по проводникам, связаны с перемещением в веществе носителей тока (зарядов), их называют токами проводимости.
Что бы понять, как возникают токи намагничивания, представим себе сначала цилиндр из однородного магнетика (магнитные свойства постоянны во всем объеме вещества), намагниченность J которого однородна и направлена вдоль его оси (цилиндра). В таком случае, молекулярные токи в намагниченном магнетике ориентированы в плоскости перпендикулярной J и, соответственно оси цилиндра. На рис.17 показана часть цилиндра с его сечением перпендикулярным оси цилиндра. В сечении нанесены молекулярные круговые токи. Все они одинаковы как по величине кругового тока (отражаем одинаковой жирностью круговых Рис.17
линий тока), так и по радиусу, что отражает однородность намагниченности магнетика. Из рисунка видно, что у соседних молекул токи в местах их соприкосновения текут в противоположном направлении и макроскопически взаимно компенсируют друг друга. Нескомпесированными остаются только те токи, которые выходят на боковую поверхность цилиндра. Эти токи и образуют макроскопический поверхностный ток намагничивания I′, циркулирующий по боковой поверхности цилиндра. Ток I′ возбуждает такое же макроскопическое магнитное поле, что и молекулярные токи вместе взятые.
Теперь пусть магнетик неоднородный, например, только в направлении оси X и вектор его намагниченности направлен параллельно оси Z. Тогда, как показано на рис.18, молекулярные токи в намагниченном магнетике ориентированы в плоскости XY, перпендикулярной, соответственно, вектору J. Указанная неоднородность магнетика отражена возрастающей в направлении оси X силой молекулярных токов, соответствующей толщине их линий. Направление и сила молекулярных токов указывает на то, что вектор J направлен за плоскость рисунка и растет по модулю с увеличением координаты X. Из рис.18 видно, что в точках касания молекулярных токов компоненты токов параллельные оси X полностью компенсируют друг друга, а параллельных оси Y нет и, следовательно, внутри неоднородного магнетика возникает макроскопический объемный ток намагничивания I′, в данном случае, текущий в направлении оси Y. Соответственно говорят о линейной j′ (А/м2) и поверхностной i′ (А/м) плотностях тока намагничивания. Рис. 18
6.4.3. О расчете поля b в магнетике.
Можно утверждать, что вклад от намагниченного магнетика в поле B равен вкладу, который был создан тем же распределением токов намагничивания I′ в вакууме. То есть в соответствии с законом Био-Савара это поле B′ и, соответственно, результирующее поле B будет определяться выражением (6.23):
B = B0 + B′.
Напомним, что B0 – поле, создаваемое сторонними токами, например, токами проводимости.
Однако, неприятность в том, что распределением токов намагничивания I′ и, соответственно поля B′, зависит не только от свойств и конфигурации магнетика, но и от искомого поля B. Поэтому задача о нахождении поля B в магнетике в общем случае непосредственно решена быть не может. Поэтому, так же как и для P, устанавливаем связь между током намагничения I′ и определенным свойством поля вектора J, а именно его циркуляцией.
6.4.4. Циркуляция вектора J.
Оказывается, что для стационарного случая циркуляция намагниченности J по произвольному замкнутому контуру Г равна алгебраической сумме токов намагничивания I′, охватываемых контуром Г:
=I′, (6.31)
Г
где I′ = , причем интегрирование проводится по произвольной поверхности, натянутой на контур Г.
Докажем эту теорему. Для этого вычислим алгебраическую сумму молекулярных токов, охватываемых контуром Г.
Натянем на контур Г произвольную поверхность S. Из рис.19 видно, что внутри контура большая часть молекулярных токов, которые пересекают поверхность S дважды – входят и выходят, пересекая последнюю, следовательно, вклад от них в результирующий искомый ток равен нулю. Другая часть токов овивает контур Г, пересекая поверхность S только один раз. Эти молекулярные токи и создают макроскопический ток намагничивания I′, пронизывающий поверхность S. Определим его. Рис.19.
Пусть для простоты магнетик однородный. Тогда можно положить, что каждый молекулярный ток и площадь им охватываемая равны Iм и Sм , соответственно. Теперь рассмотрим малый элемент длиной dl контура Г, который показан на рис.20. Положим, что вектор намагниченности J в месте нахождения элемента dl направлен под углом α к элементу dl, направление которого (на рисунке – слева на право) определяется, выбранным направлением обхода по контуру Г. Напомним, что Рис.20.
площади Sм молекулярных токов перпендикулярны J. Из рисунка видно, что элемент dl контура Г овивают те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом ∆V = Sмcosα dl. Все эти молекулярные токи пересекают поверхность S только один раз. Их вклад в ток намагничивания dI′ = Iмn∆V , где n концентрация молекул. Подставляя сюда выражение для ∆V, получим dI′ = IмSмn cosα dl = Jcosα dl = Jdl (в этой записи учли, что IмSм = pm – модуль магнитного момента отдельного молекулярного тока, а IмSмn = J – модуль магнитного момента единицы объема вещества). Проинтегрировав полученное выражение dI′ = Jdl по всему контуру Г, получим выражение (6.31). Таким образом, теорема доказана.
Необходимо отметить, что в случае неоднородного магнетика ток намагничивания пронизываю всю поверхность S (смотри для сравнения рисунки рис.20 и рис.18), а не только у ее границы, прилегающей к контуру Г. Именно поэтому этот ток и можно (нужно) представить как I′ = , где интегрирование ведется по всей поверхностиS, ограниченной контуром Г.
Дифференциальная форма записи уравнения (6.31) имеет вид:
rotJ = j′ или [J] = j′ , (6.32)
т.е. ротор вектора J равен плотности тока намагничивания в той же точке пространства.
Заметим, поле J – вектора намагниченности магнетика определяется всеми токами, как токами I′ , так и токами проводимости I (сторонними токами). (Но! в некоторых случаях – определенная симметрия, J может определяться только I′.)