6.2. Основные свойства магнитного поля

1) Теорема Гаусса для поля вектора B

Как и электрическое поле, магнитное поле представляют в виде набора силовых линий – направление касательной в каждой точке силовой линии совпадает с направлением B, а густота (плотность) силовых линий пропорциональна его величине (модулю) в данном месте.

Теорема Гаусса для B гласит. Поток вектора B (поток его силовых линий) через замкнутую поверхность равен нулю:

= 0. (6.9)

Из выражения (6.9) следует:

1 – магнитное поле не имеет источников, т.е. магнитные заряды отсутствуют в отличие от электрического поля;

2 – силовые линии магнитного поля не имеют ни начала, ни конца – они либо замкнуты сами на себя либо через бесконечность, т.е. приходят из бесконечности и в бесконечность уходят;

3 – поток вектора B через поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы этой поверхности S. Последнее легко понять, если поток представить в виде потока силовых линий.

2) Теорема о циркуляции для поля вектора B (для магнитного поля постоянных токов в вакууме)

Циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру Г равна произведению μ_ο на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:

= μ_ο I, (6.10)

Г

где I = , причем I_k – величины алгебраические. Ток считается положительным, если его направление связано с выбранным направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным.

Если токи распределены по объему, то ток I = . Здесь интеграл берется по произвольной поверхности S натянутой на конур Г, j – плотность тока в точке элемента dS поверхности S, причем вектор dS образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему. Таким образом, выражение (6.10) в общем случае имеет вид:

= μ_ο (6.11)

В отличие от электрического поля циркуляция B по замкнутому контуру отлична от нуля, а это означает, что поле B не потенциально. Поле B – вихревое или соленоидальное.

6.3. Силы, действующие на проводник стоком

1) Сила dF, действующая на элемент объема dV проводника с током со стороны магнитного поля легко получается из выражения (6.1) для аналогичной силы, действующей на движущийся заряд, если заряд q заменить на ρdV и далее точно так же, как при выводе закона Био–Савара выражения (6.5), (6.7) в пункте 6.1. 5):

dF = [jB]dV , (6.12)

и если ток течет по тонкому проводу, то

dF = I[dl, B], (6.13)

где dl – вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.

Формулы (6.12) и (6.13) выражают закон Ампера. Для получения силы со стороны магнитного поля, действующей на заданный объем проводника или его линейный участок необходимо проинтегрировать, соответственно, (6.12) и (6.13) по элементам тока объема или линейного участка. Силы, действующие на токи в магнитном поле, называют амперовыми или силами Ампера.

2) Сила, действующая на контур с током. Результирующая сила F, которая действует на контур Г стоком I в магнитном поле, определяется из (6.13) как

F = I (6.14)

Г

Из (6.14) видно, что если поле B однородное, то результирующая сила равна нулю, т.к. B можно вынести за знак интеграла, а оставшийся интеграл = 0, поскольку представляет собой сумму замкнутой цепочки векторов dl (а не скаляров, когда интеграл равен длине контура). Если же магнитное поле неоднородно, то, в общем случае, результирующая сила отлична от нуля.

Особый интерес представляет плоский контур (окружность) достаточно малого размера. Такой контур называют элементарным или магнитным диполем, поведение которого, описывается с помощью магнитного момента p_m диполя. По определению

p_m = ISn, (6.15)

где I – ток в контуре; S – площадь ограниченная контуром диполя; n – нормаль к контуру, направление которой связано с направлением тока в

Рис.14.

контуре правилом правого винта (см. рис.14). В магнитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом p_m (так же как электрический диполь электрическим моментом р_е = ql в электрическом отношении).

Расчет результирующей силы, действующей на магнитный диполь (маленький по размерам) со стороны неоднородного магнитного поля дает

F = p_m , (6.16)

где p_m – модуль магнитного момента контура; – производная вектора B по направлению нормали n или, что то же самое, по направлению вектора p_m .

Выражение (6.16) аналогично выражению для силы, действующей на электрический диполь в электрическом поле. Из выражения (6.16) видно, что как и в случае электрического диполя: 1) в однородном магнитном поле сила равна нулю, т.к. = 0; 2) направление силы F , в общем случае, не совпадает ни с вектором B , ни с вектором p_m ; направление F совпадает с направлением элементарного приращения вектора B, взятого в направлении вектора p_m в месте расположения контура.

Проекция силы F на какое то интересующее нас направление, например X , равно

F_x = p_m , (6.17)

где – производная проекции вектораB по направлению нормали n к контуру.

3) Момент сил, действующих на контур с током.

Рассмотрим плоский контур с током в однородном магнитном поле B . В этом случае, как мы уже знаем, результирующая сила, действующая на контур со стороны магнитного поля равна нулю. В таком случае, как известно из механики, если результирующая сил равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от выбора точки 0 , относительно которой определяют моменты этих сил. Тогда результирующий момент M амперовых сил в нашем случае, по определению, будет

M = , (6.18)

Где dF – определяется выражением (6.3). Соответствующий расчет по формуле (6.18) (мы его не приводим) дает

M = [p_mB], M = p_mBsinα, (6.19)

где p_m – магнитный момент контура с током (для плоского контура p_m=ISn), α – угол между векторами p_m и B. Если p_m ↑↑ B (α = 0) то момент сил M = 0 и положение контура будет устойчивым, а если p_m ↑↓ B то тоже M = 0, но положение контура будет неустойчивым.

4) Работа при перемещении контура с током.

Если контур с током находится в магнитном поле B, то на каждый элемент контура, согласно (6.12) и (6.13), действует амперова сила, следовательно, при перемещении контура эти силы (магнитное поле) будут совершать работу. В случае постоянного магнитного поля эта работа δA при элементарном (малом) перемещении контура с током I , определяется как

δA = IdФ, (6.20)

где dФ – приращение магнитного потока через контур при данном перемещении.

Полная работа амперовых сил при перемещении контура с током от начального положения 1 до конечного положения 2 получаем после соответствующего интегрирования выражения (6.20)

A = . (6.21)

Если при этом перемещении ток I остается постоянным, то

A = I (Ф₂ – Ф₁), (6.22)

где Ф₁ и Ф₂ – магнитные потоки через контур в начальном и конечном положениях. Выражение (6.22) дает величину и знак совершаемой работы.