Решение

Анализ проведем на основе структурной схемы (рис. 1.15, б), используя частотный метод Найквиста (см. п. 4) и полагая (что соответствует стационарной системе).

Передаточную функцию разомкнутой системы представим в виде:

(22.1)

(22.2)

для вариантов (а) и (б) соответственно (K=k_дk_рU₁ – усиление разомкнутой системы).

Рис. 22.1

АФХ разомкнутой системы, построенные с использованием (22.1) и (22.2), представлены на рис. 22.1 (соответственно, кривые 1 и 2). Как видно из рисунка, система устойчива в обоих случаях при любых значениях K. Однако во втором случае запас устойчивости по фазе может оказаться недостаточным, так как наличие в системе других (не учтенных при анализе) инерционных звеньев (например, регулируемого усилителя или УПТ) может привести к нарушению устойчивости при большом уровне сигнала (кривая 3).

Пример 23

Для системы АПЧ, структурная схема которой изображена на рис. 23.1, выбрать требуемое усиление K=k_дk_рk_г и постоянную времени Т из условия обеспечения заданных показателей качества: быстродействие t_п<0,01с; перерегулирование  <30%; точность – не хуже 1% (статическая ошибка).

;

Рис. 23.1

Решение

Рассматриваемой статической системе соответствует типовая ЛАХ, представленная на рис. 23.2. Значения частот сопряжения: (требуется определить). Наклон отдельных участков ЛАХ кратен –20дБ/дек (задан цифрами от 0 до 2).

Для обеспечения необходимого запаса устойчивости и качества переходного процесса участок ЛАХ с наклоном –20дБ/дек должен иметь протяженность не менее декады и располагаться симметрично относительно частоты среза _ср.

Рис. 23.2

Значение частоты среза определим по заданному времени переходного процесса

_ср.

Выберем , а частоту сопряжения , что соответствуетТ=0,01c. Определяем значение ФЧХ на частоте среза

(_cр)= –2arctg(_ср/₁)+arctg(_ср/₂) – arctg(_cр/₃)= –3/4.

Запас устойчивости по фазе

=–(_ср)=/4,

что является приемлемым. Запас по усилению не определяем, так как ФЧХ не пересекает горизонтальную линию – (достигает ее лишь асимптотически при ).

Устанавливаем связь между частотой _cр и усилением K, используя ЛАХ разомкнутой системы

20lgK– 40lg(₂/₁)–20lg(_cр/₂)=0

или.

Отсюда находим K=(₂/₁)²(_cр/₂)=100.

Для статистической ошибки запишем (см. п. 5)

,

Что удовлетворяет требованию по точности (1%).

Для определения перерегулирования рассчитаем резонансную частоту .Показатель колебательности М для АЧХ замкнутой системы определяется отношением _cр/₀: для _cр/₀=2 он составляет приблизительно 1,3 (см. лекцию 10). По виду универсальной переходной характеристики при М=1,3 находим перерегулирование <30%, что соответствует требуемому значению.

Пример 24

Определить оптимальную шумовую полосу следящего фильтра, представленного структурной схемой на рис. 24.1, полагая, что воздействие F_д(t), возмущение f_г(t) и помеха n(t) – независимые стационарные случайные процессы cсоответственно с энергетическими спектрами

S_Д()=S_н()=

S_n()=N₀.

Решение Представим частотную ошибку в виде

f=f_Д+f_н+f_n,

где составляющие f_д, f_н и f_n определяют соответственно ошибки, обусловленные флуктуациями доплеровской частоты, частотным шумом подстраиваемого генератора и помехой.

Дисперсия результирующей ошибки равна сумме дисперсий ее составляющих:

Дисперсия динамической ошибки, обусловленной искажениями воздействия вследствие конечной полосы пропускания замкнутой системы, равна

(24.1)

где K_з(j) – амплитудно-фазовая характеристика замкнутой системы.