Решение

Передаточную функцию K_e(p) преобразуем к виду

. (18.2)

Отсюда находим передаточную функцию разомкнутой системы

(18.3)

Рассматриваемая система имеет первый порядок астатизма и добротность K₁=K=100 с^–1. Следовательно, установившаяся динамическая ошибка в первом случае равна

а во втором случае

Для нахождения коэффициента С₂/2 используем уравнение (11.8) (лекция 11), которое в данном случае принимает вид

(18.4)

где A(p)=T₁T₂p²+(T₁+T₂)p+1, а B(p)=1.

Приравнивая коэффициенты при p² в обеих частях уравнения, находим

или

.

Подставив значения параметров K, Т₁ и Т₂, получим С₂/2=0,001.

Окончательно для ошибки имеем

Первая составляющая (0,019) определяет скоростную ошибку, а вторая (–0,01t) – ошибку по ускорению. Как видим, вклад составляющей – С₂/2=–0,001 действительно мал, и можно полагать, что .

Пример 19

Провести оптимизацию системы (рис. 19.1) по параметру k_и при воздействии и помехе– белом шуме с спектральной плотностьюN₀ Bт /Гц.

Решение

Оптимизацию проводим в соответствии с критерием (1.106), так как воздействие детерминированное.

Рис. 19.1

Используя результаты п.п. 1.5.2, 1.5.3, для среднего квадрата ошибки (1.94) запишем

(19.1)

Шумовая полоса системы в соответствии с (1.98) равна

где

(19.2)

– табличный интеграл вида (1.100), а полиномы

соответствуют передаточной функции замкнутой системы K_з(p)=1/[1+p(1/K₁)].

Подставив значения параметров a₀=1/K₁, a₁=1 и b₀=1 в (19.2), находим I₁=K₁/2.

Шумовая полоса определяется добротностью системы по скорости K₁=k_дk_и:

(19.3)

Критерий оптимизации (1.106) в данном случае принимает вид

(19.4)

Решая уравнение (19.4), получаем

Оптимальное значение шумовой полосы и минимально достижимую ошибку находим подстановкой в выражение дляF_ш (19.3) и , (19.1):

(19.5)

Анализ выражения (19.5) показывает, что оптимальное значение полосы системы определяется скоростью изменения воздействия и интенсивностью шумаN₀ (уменьшается с ростом N₀).

Пример 20

Для системы, рассмотренной в примере 19, провести оптимизацию по параметру k_и при условия, что воздействие х(t) – стационарный случайный процесс с нулевым средним значением и спектральной плотностью

S_x()=

(помеха n(t), как и ранее, белый шум со спектральной плотностью N₀).

Решение

В качестве критерия оптимальности используем выражение (1.107), которое принимает вид

(20.1)

Дисперсию динамической ошибки находим из (12.10) (лекция 12) после подстановки в него выражений для энергетического спектра воздействия и квадрата АЧХ

Используя для S_x() представление в виде

S_x() =

дисперсию динамической ошибки выражаем через табличный интеграл:

(20.2)

где полиномы

A₂(j)=(j)²+(+K₁)(j)+K₁,

B₂()=².

После подстановки параметров a₀=1, a₁=+K₁, a₂=K₁, b₀=1 и b₁=0 в выражение (20.2), получаем

Дисперсия динамической ошибки

С учетом этого выражения после решения уравнения (20.1) относительно параметра k_{и опт} имеем

(20.3)

Значения оптимальной шумовой полосы и минимально достижимой ошибки находим подстановкой k _иопт в соответствующие выражения для F_{ш опт} и . Как видно из (20.3), значениеk_иопт (а следовательно, F_шопт) определяется дисперсией и шириной спектра воздействия, а также интенсивностью шума N₀.