Решение

Передаточная функция цифровой модели системы равна

где коэффициенты разностного уравнения

Подставив их в (10.11) (лекция 10), находим разностное уравнение

Интервал дискретизации выбираем из условия T<<T₁ (Т₁=0,1с, а с^–1 – полоса системы по уровню 0,7). Для удобства берём значение Т=0,02с; при этом коэффициенты .

График переходного процесса, построенный с использованием разностного уравнения, представлен на рис. 14.1, б (сплошная кривая соответствует точному решению методом Лапласа, а точки на ней – результатам моделирования). Как видим из рисунка, расхождение невелико (не превышает 10%). Быстродействие системы составляет t_П=0,3 c (15T).

Пример 16

Оценить качество переходного процесса в системе (рис. 14.1, а), используя АЧХ замкнутой системы.

Решение

Для рассматриваемой системы АЧХ может быть найдена непосредственно по передаточной функцииK_з(р)=1/(1+0,1р):

.

Однако с целью иллюстрации возможности применения графического метода построения АЧХ замкнутой системы по кривой АФХ разомкнутой системы воспользуемся указанным методом.

Представим АФХ разомкнутой системы в виде

График имеет вид прямой, совпадающей с осью ординат (рис. 16.1,а) и уходящей в бесконечность при  0.

Поскольку АФХ расположена правее вертикальной линии, проходящей через точку – 0,5 на оси абсцисс, то можно сделать вывод о том, что АЧХ замкнутой системы – убывающая функция частоты, а переходный процесс – монотонный (без перерегулирования). Значенияпри фиксированных (например, равных 2,5,10 и т. д.) находятся как отношение длин векторов:. В точках=0 и = эти значения известны (соответственно, единица и нуль). График АЧХ (рис. 16.1, б) позволяет оценить полосу пропускания замкнутой системы по уровню(она равна 10 с^–1), а следовательно, время переходного процесса .

Рис. 16.1

Пример 17

Используя метод оценки качества переходного процесса по ЛАХ разомкнутой системы построить переходную характеристику при единичном воздействии для системы с передаточной функцией

Решение

По заданной передаточной функции строим ЛАХ разомкнутой системы (рис. 17.1, а). Определяеми вычисляем, а также. Протяженность участка с наклоном – 20 дБ/дек равна.

Находим отношение _ср/₀=1,6 по табл. 1.2 диапазон 1,5<М<1,7. По графику (рис. 1.51) отыскиваем некоторую универсальную кривую междуМ=1,5 и М=1,7. Разделив абсциссы этой универсальной переходной характеристики на , получаем переходную характеристику для рассматриваемой системы (рис. 17.1,б). По характеристике определяем перерегулирование и быстродействие.

Рис. 17.1

Задача 38

Для замкнутой системы (рис. 38.1) найти переходную характеристику, определить быстродействие и перерегулирование при Т= 0,2 с.

Рис. 38.1

Задача 39

Для замкнутой системы (рис. 39.1) определить значение параметра k, при котором обеспечивается заданное время переходного процесса: t_п < 0,01с.

Рис. 39.1

Занятие 7. Точность действия автоматических систем

Пример 18

Определить установившуюся ошибку следящей системы при воздействиях: 1) x(t)=20+2t и 2) x(t)=20+2t–0,5t², если известна передаточная функция

(18.1)

и заданы параметры: K=100 с^–1; T₁=0,1 c; T₂=0,01 c.