Применение табличных интегралов для вычисления дисперсии ошибки

Вычисление интеграла в формуле (4) для шумовой полосы упрощается, если представить подынтегральное выражение в виде

, (П-1)

где полиномы

(П-2)

n – порядок дифференциального уравнения, описывающего систему.

Тогда нахождение шумовой полосы системы и дисперсии шумовой ошибки

, (П-3)

сводится к вычислению интеграла

,

значения которого при n = 2 и 3 определяются формулами

(П-4)

Приложение 3

Пример оптимизации следящей системы

Пусть порядок астатизма системы r = 2, а передаточная функция звена, определяющего динамические свойства системы, имеет вид

Тогда передаточная функция замкнутой системы

, (П-5)

где K₂ = k_дk– добротность системы по ускорению.

Заменив в формуле (П-5) параметр p на j, получаем выражение для комплексного коэффициента передачи замкнутой системы:

. (П-6)

Используя (П-6), для квадрата модуля комплексного коэффициента передачи (квадрат АЧХ замкнутой системы) запишем

. (П-7)

Сравнивая выражения (П-7) с (П-1), находим

(П-8)

Тогда в соответствии с формулой (П-2) для коэффициентов полиномов (П-8) запишем

Подставив значения параметров a_i (i = 0, 1, 2, 3) и b_i (i = 0, 1, 2) в выражение (П-4), получаем

. (П-9)

Используя (П-3), (П-9), находим шумовую полосу системы и дисперсию шумовой ошибки:

(П-10)

(П-11)

Произведем оптимизацию системы в соответствие с критерием (5), учитывая, что в рассматриваемом примере порядок астатизма системы r = 2. Подставив (2) и (П-11) в (5), после несложных преобразований получаем

. (П-12)

Решив уравнение (П-12), находим оптимальное значение параметра k:

. (П-13)

При заданных значениях параметров системы (k_д, T₁, T₂), а также характеристик помехи (N₀) и задающего воздействия формулы (П-10), (П-11), (П-13) позволяют рассчитать оптимальное значение шумовой полосы следящей системы и минимально достижимую ошибку слежения (с использованием формул (1), (2)). Заметим, что в рассматриваемом примере формулы (П-10) - (П-13) имеют смысл приT₁>T₂.

Приложение 4

Пример моделирования следящей системы на эвм

Пусть порядок астатизма системы r = 1, а передаточная функция динамического звена (рис. 1а) определяется выражением

Значение параметра k соответствует результату оптимизации (см. раздел 2). Тогда в соответствии с (9) цифровая модель замкнутой автоматической системы описывается системой уравнений

(П-14)

Блок-схема алгоритма моделирования (П-14) приведена на рис. 4. В программном блоке 1 производится ввод исходных данных: параметров ,,T и v, а также числа шагов фильтрации N (ориентировочно можно полагать равным 10...20). В блоке 2 производится формирование дискретных значений задающего воздействия: при ступенчатом воздействии полагается x[i] = x₀ при i=0, 1, 2, …, а при линейном и квадратичном – в соответствии с выражением (13). В блоке 3 вычисляется текущее значение ошибки (первая строка алгоритма (П-14)). В блоке 4 вычисляется текущее значение оценки скорости (вторая строка алгоритма (П-14)). В блоке 5 формируется текущее значение выходной переменной в соответствии с алгоритмом (П-14): в памяти ЭВМ хранятся значения скорости изменения задающего воздействия и выходной переменной, полученные на предыдущем шаге фильтрации.

Рис. 4 – Блок-схема алгоритма моделирования

Приложение 5