moskvich_fizika

Принцип работы д вигателя: в процессе работы машина получает количество теплоты от нагревателя, часть которого идёт на совершение полезной работы (приводи тся в дей ствие какой-либо силовой агрегат), а часть отдаётся холодному резервуару.

Принцип работы холодильной маши ны: для того, чтобы отобрать количество теплоты от холод ильника и передать его нагревателю, необходимо затратить некоторое количество эн ергии на совершение механической работы над рабочим вещ еством машины.

Показатели эффективности тепловых машин

Эффективность двигателя хар актеризуется коэффициентом по лезного действия η (КПД). Эффективность холодильной машины – коэффициентом использования энергии ξ (КИЭ). На схеме 9.4.1 пр иведены формулы для вычислен ия КПД и КИЭ.

Чтобы воспользоваться формулами 9.29 – 9.31 необходимо точно установить на каких участках цикла, совершаемого рабочим телом, количест-

111

во теплоты, поступает в машину, а на каких участках цикла количество теплоты передается низкотемпературному резервуару.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите его уравнение в дифференциальной форме, поясните обозначения бесконечно малых величин.

Ккаким процессам применим этот постулат?

2.Что называется вечным двигателем первого рода?

3.Как определяются теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном давлении? Почему их называют функциями состояния?

5.Сделайте вывод уравнения Майера. Для каких систем это уравнение применимо?

6.Что называется политропическим процессом? Запишите уравнение полит-

7.Как связан показатель политропы с теплоемкостью процесса?

8.Является ли адиабатный процесс политропическим процессом? Обоснуйте ответ.

9.Как выглядят графики политропических процессов? Приведите примеры.

10.Как можно определить работу, совершенную системой, через количество теплоты, полученное ею извне в политропическом процессе?

11.Нарисуйте принципиальные схемы тепловых машин, работающих как двигатель и как холодильная машина.

12.Дайте определения КПД и КИЭ. По каким формулам они вычисляются и как связаны между собой?

112

ЛЕКЦИЯ 10

ТЕОРЕМЫ КАРНО И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

1 0.1. Цикл Карно

В1824 году французский физик и военный инженер Н икола Леонар Сади Карн о опубл иковал свою работу «Размы шления о движущ ей силе огня и о машинах, спосо бных развивать эту силу», в которой им были сформу лированы осн овные положения теории тепловых машин, содержащие по своей сути идею второго начала терм одинамики.

Вэтом сочинении Карно вв ёл в научный обиход множество п онятий, использующихся в термодинамике и сейчас. Однако главной заслугой учёного стало выдвиж ение идей о необходимости перепада температур для создания циклически действую щей тепловой машины и о том, что величина рабо-

ты определяется только разностью температур нагревателя и холодильника и не зависит от природы рабочего вещества.

Рис. 10.1.

В идеальной машин е Карно рабочее вещество (идеальный газ) совершает цикл, представленный на рис. 10.1, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Адиабата и изотерма слабо отличаются друг от друга, поэтому площадь вн утри замкнутой кривой на диаграмме очень мала. Таким образом, характеристика цикла Карно по величине абсолютной работы не является хорошей, но с учётом затрат это сам ый эффективный цикл среди всех возможных циклов для получения работы.

Расчёт КПД машины Карн о

Описание системы

Идеальны й газ совершает цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат – цикл К арно, представле нный на рис. 10.2.

113

Рис. 10.2.

Актуальная инфор мация о системе и процессах

• Так как газ идеальный, то справедливо уравнен ие Клап ейронаМенделеева

.

•Изменение внутренней энергии идеального газа на изотерме равно нулю

Постановка задачи

Рассчитать КПД тепловой машины Карно.

Реш ение задачи

• По определению КПД двигателя ра вен

114

• Количество теплоты, поступающее к рабочему телу от нагревателя на участке 1-2 рис.10.2 равно

При записи (10.3) учтено, что изменение внутренней энергии идеального газа на изотерме не происходит.

• На участках 2-3 и 4-1 рабочее тело изолируется от нагревателя и холодильника. Соответствующие квазистатические процессы идут без теплообмена

• Уравнение адиабатического процесса (10.1) позволяет существенно упростить это выражение. Действительно, для адиабаты 2 - 3 (рис. 10.2)

, 10.6

а для адиабаты 4 - 1 запишем

. 10.7

115

Если разделить уравнение (10.6) на уравнение (10.7), то получим

,

или

• Воспользовавшись этим результатом, из формулы (10.5) получим окончательный ответ

рованной температуре нагревателя , тем выше КПД цикла Карно. В ряде

гласно третьему началу термодинамики. Такой аргумент следует признать

или нельзя замкнуть, или он вырождается в совокупность двух совпадающих адиабат и изотерм [1]. Машина с КПД равным единице запрещена вторым началом термодинамики.

10.2. Теоремы Карно

Основные положения теории тепловых машин Сади Карно сформулировал в виде двух теорем, которые доказываются от противного [12]. Мы приведём лишь формулировки этих теорем и сфокусируем внимание на их приложениях (схема 10.2.1).

116

Далее мы подробно рассмотрим каждое из приложений этих двух теорем. Начнем с построения абсолютной термодинамической шкалы температур.

Термодинамическая шкала температур

Поскольку КПД не зависит от рабочего тела, то можно представить следующую процедуру построения шкалы температур.

•В качестве нагревателя машины Карно берется некоторое стандартное тело, например, вода, кипящая при атмосферном давлении.

•В качестве холодильника выбирается другое стандартное тело, например лед, тающий при атмосферном давлении.

• Разность температур и (сами температуры пока не известны) делится на сто частей, чем устанавливается размер градуса абсолютной термодинамической шкалы температур.

• Осуществляется обратимый цикл Карно с каким-либо телом.

• Измеряются и

тело следует использовать в качестве нагревателя, сохранив прежний холодильник с температурой . Затем необходимо осуществить цикл

Отсюда находится искомая температура .

Построенная таким образом шкала температур Кельвина, как мы уже знаем, совпадает со шкалой газового термометра. Из уравнения (10.10) следу-

ет, что нулем температуры является температура, при которой равно нулю. Более строгое рассмотрение принципов построения рациональной термодинамической шкалы температур дано в [14].

10.3. Метод циклов

С помощью первой теоремы Карно можно получить много важных соотношений между физическими величинами в дифференциальной форме, характеризующими систему в состоянии термодинамического равновесия. Для этого надо заставить систему надлежащим образом осуществить цикл Карно и применить к нему теорему Карно. Этот метод называется методом циклов. Проясним его сущность на примере решения следующей задачи.

Задача о нахождении зависимости внутренней энергии макроскопического тела от его объема

Рассмотрим произвольное физически однородное тело, состояние которого характеризуется двумя параметрами и . Будем считать, что

мость энергии от объема в дифференциальной форме, необходимо осуществить бесконечно малый цикл Карно над рассматриваемым телом таким образом, чтобы температуры изотерм отличались на . Изобразим подобный цикл на рис. 10.3. Как видно, верхняя изотерма имеет температуру , а нижняя .

118

Запишем КПД цикла Карно с одной сторон ы через т емпературы, а с другой – через полученное телом количество теплоты и совершенну ю им работу

Работа , произведенная телом в результате цикла 123 4, численно равна заштрихованной площади параллелограмма 1234. Чтобы вычислить ее, проведем прямые 1-6 и 2-5, параллельные оси давлений. Ясно, что иско ая площадь равна площ ади параллелограмма 1256 .

Высота это го параллелограмма численно равна приращению

– объемаприизотермическом процессе 1-2.

Рис. 1 0.3.

Основание же 6-1 д ает приращение давления при пов ышении температуры на , когда объем системы поддерживается по стоянным. Поэто му

,

.

Для работы цикла, которая численно равна его площади, получаем

. 10.12

119

Теперь вернемся к (10.11). Выразим числитель и знаменатель правой части этого уравнения согласно (10.12) и (10.15). Тогда получим

. 10.16

Из (10.16) легко выразить частную производную. В итоге получаем искомое решение

. 10.17

Подобным образом можно найти зависимость давления насыщенного пара от температуры или закон изменения поверхностного натяжения с температурой и множество других закономерностей.

10.4. Неравенство Клаузиуса. Определение энтропии

На основе второй теоремы Карно можно получить неравенство, связы-

ηηK,

120