ПОСОБИЕ ПО ЛАБАМ СФУ

(согласно “правилу трёх сигма” для нормального случайного процесса). Следовательно, σ шума соответствует 0.5 В. При последующем исследовании цепей не менять ни уровня шума, ни усиления осциллографа.

1.2. Подключив ГШ к входу “А” ПК, работающего в режиме “ГИСТОРАММА”, с помощью ручки регулировки входного сигнала ПК, расположенной рядом с гнездом “А”, установить на мониторе требуемую интенсивность сигнала (избегать перегрузки звуковой платы). Зафиксировать общую для всех цепей реализацию сигнала на входе, график плотности вероятности и его параметры – m и σ.

1.3. Подключив выход ГШ к входу цепи – блок 4, а ПК – к её выходу, зафиксировать входную и выходную реализации, плотности вероятности

входного ωвх(x) и выходного сигнала ωвых(x) и их параметры m и σ. 1.4. Повторить п. 1.3 для цепи 5 и 6.

2. Исследование законов распределения огибающей при различном отношении сигнал/шум

2.1.Для получения узкополосного нормального процесса используем полосовой фильтр (цепь 3, предварительно получить АЧХ), а для получения огибающей – амплитудный детектор, состоящий из диодного ограничителя (нелинейная цепь 4) и ФНЧ (цепь 1), как показано на рис. 3.

2.2.Собрать цепь в соответствии с рис. 2. Отключив генератор шума от сумматора, подобрать частоту генератора (в районе 6 кГц), при которой показания вольтметра достигнут максимума. Установить выходное напряжение генератора таким, чтобы показания вольтметра на выходе цепи 3 соответствовали 0.35 В.

Рис. 2.

Отключить диапазонный генератор от входа сумматора и подключить туда ГШ. Отрегулировать выходное напряжение ГШ так, чтобы на экране осциллографа, подключённого к выходу цепи 3, максимальная ширина шумовой “дорожки” составляла 6 клеток (6σ=6 клеток). Если калибровка

осциллографа, выполненная в п. 1.1 не нарушалась, то σ при этом равно 0.5 В, а отношение Um /σ=0 (так как генератор отключён).

2.3.Подключая ПК ко входу амплитудного детектора (вход цепи 4) и его выходу (выход цепи 1), зафиксировать реализации и гистограммы исследуемых сигналов.

2.4.Подключить диапазонный звуковой генератор ко входу сумматора

иотключить источник шума. Отрегулировать выходное напряжение генератора так, чтобы ширина осциллограммы в той же точке схемы

составляла 2 клетки (двойная амплитуда 2Um соответствует 1 В, т. е. Um=0.5 В). Подключив источник шума к входу сумматора, на его выходе получим

аддитивную смесь “белого” шума и гармонического сигнала при Um/σ=1. Повторить п. 2.3.

2.5. Отключив шумовой генератор от входа сумматора, отрегулировать выходное напряжение гармонического сигнала так, чтобы ширина осциллограммы составила 4 клетки (т. е. Um=1 В). Подключить источник шума ко входу сумматора. Если положение регуляторов выхода не нарушились, то σ по-прежнему равно 0.5 В, следовательно, Um/σ=2.

Повторить п. 2.3.

2.6. Повторить п. 2.5, но ширину осциллограммы (регулятором выхода генератора) установить 6 клеток. Теперь амплитуда Um=1.5 В, а отношение

Um/σ=3.

Повторить п. 2.3.

Отчёт

Отчёт должен содержать:

1.Функциональные схемы исследований и результаты домашней подготовки.

2.Результаты экспериментов с указанием условий их проведения.

3.Выводы по результатам исследований.

Контрольные вопросы

1.Как находятся вероятностные характеристики случайных процессов при нелинейных преобразованиях?

2.Охарактеризуйте функцию распределения и плотность вероятности – какова их связь?

3.Меняется ли форма графика ω(х) при прохождении любого случайного процесса через нелинейную безинерционную цепь?

4.Как учитывается многозначность нелинейных характеристик при нахождении плотности распределения?

5.Как получить график ω(x) на выходе нелинейной цепи?

6.Как рассчитать дисперсию и математическое ожидание на выходе нелинейной цепи?

7.Что такое закон Рэлея? Какой случайный процесс характеризуется этим распределением?

8.Какому закону подчиняется распределение мгновенных значений огибающей смеси узкополосного нормального случайного процесса и гармонического сигнала?

9.Как рассчитать дисперсию процесса на выходе нелинейной цепи?

10.Как рассчитать математическое ожидание процесса на выходе нелинейной цепи?

11.Как рассчитать отношение сигнал-шум на выходе линейного

детектора?

12.Как рассчитать отношение сигнал-шум на выходе квадратичного

детектора?

Приложение 1

К лабораторным работам №1 и 3

Краткие теоретические сведения о сигналах

1. Детерминированные сигналы

То, что в радиотехнике называют – «сигнал» происходит от латинского «signum» – знак и представляет собой физический процесс, изменяющийся во времени. Более широко под этим понимаются изменения сигнала одновременно и в спектральной области.

Для теоретического изучения и расчета сигналов составляется аналитическое выражение (математическая модель) исследуемого сигнала,

что позволяет сравнивать сигналы между собой, выявить их основные свойства, провести классификацию и др.

1.1. Классификация сигналов

1.1.1. Детерминированные и случайные сигналы

Детерминированный (континуальный – т. е. полностью известный)

сигнал – это сигнал, мгновенные значения которого в любой момент времени известны и поэтому не представляет интереса для исследования, т. к. не содержит информации, но важен для изучения общих свойств сигналов [2].

Примерами детерминированных сигналов могут быть: последовательности импульсов (форма, амплитуда и положение во времени которых известны), непрерывные сигналы с заданными амплитудно- фазовыми соотношениями и др.

Способы задания модели сигнала могут быть: аналитическое выражение (формула), осциллограмма, спектральное представление.

Примеры моделей детерминированных сигналов: s(t)=UmSin(ω0t+ϕ0);

s(t)

S(ω)

ω

ω0

Рис. 1. Детерминированный синусоидальный сигнал и его спектр

Случайный сигнал – сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени заранее неизвестно, а может быть предсказано с некоторой вероятностью, меньше единицы.

Примером случайного сигнала может быть напряжение, соответствующее человеческой речи, музыке; последовательность радиоимпульсов на входе радиолокационного приемника; помехи, шумы и др. На рис. 2 приведен пример графика (реализации) случайного сигнала.

s(t)

t

Рис. 2. Реализация случайного процесса

1.1.2 Сигналы, применяемые в радиотехнике

Непрерывные по величине (уровню) и непрерывные по времени

(непрерывные или аналоговые – рис. 3) сигналы – принимают произвольные значения s(t) и существуют в любой момент в заданном временном интервале.

s(t)

t

Рис. 3. Аналоговый сигнал

Непрерывные по величине и дискретные по времени (рис. 4) сигналы заданы при дискретных значениях времени (на счетном множестве точек), величина сигнала s(t) в этих точках принимает любое значение в определенном интервале по оси ординат.

Термин «дискретный» характеризует способ задания сигнала на оси времени.

s(t)

t

Рис. 4. Непрерывный по уровню и дискретный по времени сигнал

Квантованные по уровню и непрерывные по времени сигналы заданы на всей временной оси, но величина s(t) может принимать лишь дискретные (квантованные) значения.

s(t)

t

Рис. 5. Квантованный по уровню и непрерывный по времени сигнал

Квантованные по уровню и дискретные по времени (цифровые)

сигналы – передаются значения уровней сигнала в цифровой форме.

s(t)

t

Рис. 6. Квантованные по уровню и дискретные по времени сигналы

1.1.3. Импульсные сигналы Импульс – колебание (сигнал), существующее лишь в пределах

конечного отрезка времени.

Пример видеоимпульса (рис. 7.).

Рис. 7. Сигнал – видеоимпульс

Для трапециидального видеоимпульса вводят параметры: А – амплитуда; τи – длительность видеоимпульса; τф – длительность фронта; τср – длительность среза.

Пример радиоимпульса (рис. 8.).

sр(t)

А

t

Рис. 8. Сигнал – радиоимпульс

Математическая модель радиоимпульса:

sр(t)=sв(t)Sin(ω0t+ϕ0),

где sв(t) – видеоимпульс, т. е. огибающая радиоимпульса.

1.1.4. Специальные сигналы: функция включения и дельта-функция

Функция включения (единичная функция или функция Хевисайда)

позволяет описать процесс перехода некоторого физического объекта из исходного – «нулевого» в «единичное» состояние, причем этот переход совершается мгновенно и может быть представлена формулой:

C помощью функции включения удобно описывать, например, разнообразные процессы коммутации в электрических цепях.

S(t)=σ(t)

1

t

Рис. 9. Функция включения

Дельта-функция (функция Дирака).

Дельта-функция является импульсом, длительность которого стремится к нулю, а амплитуда импульса неограниченно возрастает. Принято, что эта функция локализована в конкретной точке, а площадь равна 1:

+∞

òδ (t)dt = 1 .

−∞

1.2. Методы представления сигналов

В результате развития радиотехники и методов математического анализа была разработана теория сигналов на основе функционального анализа, в котором сигнал представляется как вектор в специальном бесконечномерном линейном пространстве. Это дало возможность говорить о величине сигнала, проводить сравнительный анализ сигналов и т. д. Линейное множество сигналов наделено специальной структурой, причем выбор структуры характеризуется физическими соображениями (например, электрические сигналы суммируются, умножаются и т. д.).

Отметим основные положения этой теории.

∙ В линейном пространстве сигналов вводится координатный базис (координатные оси). Вектора координатного базиса ei линейно независимы, то есть выполняется соотношение:

åci ∙ ei = 0.

i

Если дано разложение сигнала s(t) в виде:

s(t) = åci ∙ ei ,

i

то числа (коэффициенты) сi являются проекциями сигнала s(t) относительно выбранного базиса.

∙ Норма сигнала. Для количественной оценки сигналов в линейном пространстве сигналов вводится понятие нормы как длины вектора сигнала:

для действительных аналоговых сигналов норма равна:

В этом случае линейное пространство становится нормированным.

∙Энергия сигнала – это квадрат нормы.

Es = s(t)2 = ∞òs2 (t)dt .

−∞

∙ Метрика. Расстояние между сигналами в нормированном линейном пространстве называется метрикой. Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:

ρ(s1,s2 ) = s1 - s2 .

Зная метрику можно судить о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует (может заменять) другой. Линейное нормированное пространство становится метрическим.

∙ Угол между двумя сигналами метрического нормированного линейного пространства определяется из их скалярного произведения:

(s1,s2 ) = ∞òs1(t) × s2 (t)dt ,

−∞

а косинус угла между сигналами находится по формуле:

Линейное пространство с таким скалярным (масштабированным) произведением называется Гильбертовым.

∙ Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение (а также и взаимная энергия) равно нулю.

(s1,s2 ) = ∞òs1(t) × s2 (t)dt = 0.

−∞

В Гильбертовом пространстве задается ортонормированный базис, для которого скалярное произведение равно:

Примером ортонормированного базиса может служить система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом.

∙ Обобщенный ряд Фурье. Произвольный сигнал s(t) в

Гильбертовом пространстве можно разложить в обобщенный ряд Фурье в выбранном базисе функций φn(t):

∞

s(t) = åcnϕn (t) ,

n=−∞

где сn – комплексные коэффициенты ряда, определяемые с учетом ортонормированности выбранного базиса находятся по формуле:

cn = tò2 s(t) ×ϕn (t)dt .

t1

Коэффициенты ряда сn – являются амплитудами (весовыми коэффициентами) выбранных базисных функций.

1.3. Спектральное представление сигналов

В радиотехнике в качестве базиса ортогональных функций чаще всего используются экспоненциальные или гармонические функции, что связано с простотой их генерации, а также с тем, что гармонические сигналы сохраняют свою форму при преобразованиях в линейных цепях.

Спектральное разложение сигнала – это представление сигнала в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами и фазами.

Частотный спектр – это набор отдельных гармонических составляющих сигнала.

1.3.1. Ряд Фурье в тригонометрической форме, как наиболее часто

используемый вариант записи для произвольного периодического сигнала имеет вид:

s(t) = a0 + å∞ (an cosnω0t + bn sin nω0t) . 2 n=1

Коэффициенты ряда определяются по формулам:

T

a0 = 2 ò2s(t)dt ; T −T 2

2 T 2

an = T òs(t)cosnω0tdt ;

−T 2