Лекция № 4

Функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть дано множество . Обозначим элементы этого множества через . Если каждой точке поставлено в соответствие число , то говорят, что на множестве определена функция переменных. Обозначение .

– область определения функции; – независимые переменные.

Примеры: ; .

Задача 1. Найти область определения функций;

а) ; б) .

В дальнейшем мы будем рассматривать функции двух переменных , при этом практически все понятия и теоремы легко переносятся на случай функций трех и более переменных.

Определение 2. – окрестностью точки называют круг с центром в точке и радиусом .

Обозначение

Определение 3. Расстоянием между двумя точками и называется величина .

Определение 4. Графиком функции переменных называется множество точек пространства . Для функции двух переменных графиком является поверхность .

Для построения графика функции полезно рассматривать функции одной переменной и . Например: – эллиптический параболоид.

Определение 5. Линией уровня функции называется множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению .

Пример 2. Построить линии уровня функции

а) ; б) .

Определение 6. Поверхностью уровня функции называется множество точек , удовлетворяющих уравнению .

Пример 3. Построить поверхности уровня функции .

Предел функции переменных.

Определение (Гейне) Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , числовая последовательность сходится к .

Чтобы доказать, что функция не имеет предела в точке достаточно указать две последовательности точек и , сходящихся к и такие, что .

Пример 4. . Рассмотрим две последовательности

.

Определение (Коши) Число называется пределом функции в точке , если , такое, что выполняется неравенство .

Обозначение ,

Определения Гейне и Коши эквивалентны.

Непрерывность функции переменных.

Определение 7. Функцию , определенную в окрестности точки (и в самой точке), называют непрерывной в точке , если .

Точки пространства , в которых функция не обладает свойством непрерывности называются точками разрыва функции.

Точку называют точкой разрыва в случае:

1) определена во всех точках некоторой окрестности точки , кроме самой точки ;

2) функция определена во всех точках окрестности и в самой точке , но не существует предела

3) функция определена во всех точках окрестности и в самой точке , и существует предел , но .

Определение 8. Функция, непрерывная в каждой точке множества называется непрерывной на множестве .

Свойства непрерывных функций нескольких переменных.

Свойство 1. Если и заданы на одном и том же множестве , и непрерывны в некоторой точке , то функции , , , а при условии, что и – непрерывны в точке .

Свойство 2. Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то:

1. она ограничена на этом множестве;

2. она достигает на этом множестве своих наибольшего и наименьшего значений;

3. для любого числа найдется такая точка , что .

Частное и полное приращение функции.

Определение 9. Полное приращение функции в точке – это функция .

Пусть , .

Обозначим , ,…,.

Тогда

Определение 10. Пусть задана функция . Зафиксируем значения переменной, а одной переменной дадим приращение . Тогда функция получит частное приращение:

.

Замечание Полное приращение не равно сумме частных приращений: .

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть у функции переменная зафиксирована, а переменная получает приращение . Тогда приращение функции будет .

Если существует предел , то его называют частной производной от функции в точке по переменной и обозначают: или , или .

Аналогично определяется частная производная по переменной

При нахождении частной производной применимы все формулы и правила дифференцирования функции одной переменной, так как по определению мы фиксируем все переменные, кроме одной, и фактически имеем дело с функцией одной переменой. Если, например, находим производную по , то все остальные аргументы рассматриваем как константы.

Пример 5. Найти частные производные функции .

Решение. При нахождении считаем, что – константа, а – переменная величина, поэтому . Аналогично, .

Пример 6. Найти частные производные функции

.

Решение. Находим , считая, что – функция одного аргумента – , а и – константы: .

Замечание. Для функции многих переменных из существования конечных частных производных в точке не следует непрерывность функции в этой точке.

Дифференциал функции нескольких переменных.

Определение. Если приращение функции в точке можно записать в виде , где и зависят только от и , и не зависят от , , то функция называется дифференцируемой в точке .

Выражение называется дифференциалом функции в точке и обозначается символом .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные, причем .

Дифференциал функции переменных записывается аналогично:

.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости) Если функция имеет в точке непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

Утверждение. Функция , дифференцируемая в точке , является непрерывной в этой точке.

Дифференцирование сложной функции.

1. Случай одной независимой переменной. Если дифференцируемая функция аргументов и , которые в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной : ; , то производная сложной функции может быть вычислена по формуле

, (*)

которая называется формулой полной производной.

В частности, если совпадает с одним из аргументов, например , то «полная» производная по будет

Пример 7. Найти , если , где , .

Решение.

.

Пример 8. Найти частную производную и полную производную , если , где .

2. Случай нескольких независимых переменных. Если сложная функция нескольких независимых переменных, например , где ; ( и – независимые переменные; , и – дифференцируемые функции), то частные производные по и выражаются так:

; .

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности первого дифференциала).

Пример 9. Найти , если , где , , .

Пример 10. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Обозначим . Тогда

, .

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь

Пример 11. Найти и , если , где , .

9